Es de $\mathbb{N}$ imposible de precisar?

Question

No sé si esto es apropiado para las matemáticas.stackexchange, o si la filosofía.stackexchange habría sido una mejor opción, pero lo voy a publicar aquí porque el contenido es algo técnico.

En ZFC, podemos demostrar que el (de segundo orden) axiomas de Peano tiene un modelo, de la llamada es de $\mathbb{N} = (N,0,S,)$. Además, $\mathbb{N}$ es única hasta el isomorfismo. Por lo tanto, parecería que nos hemos sujetado $\mathbb{N}$.

Sin embargo, si ZFC es consistente, entonces tiene algunos muy peculiares modelos. En particular, se tiene un modelo de dólares(V_0,\in_0)$ cuya "nativo" de $\mathbb{N}$, vamos a llamarlo $\mathbb{N}_0$, es un modelo para la frase: "ZFC es consistente," y otro modelo $(V_1,\in_1)$ cuya "nativo" de $\mathbb{N}$, vamos a llamarlo $\mathbb{N}_1$, es un modelo para la frase: "ZFC es contradictorio."

Pero en la realidad, en otras palabras, para la "real" $\mathbb{N}$, sólo uno de ellos puede ser frases pueden ser verdad. Además, los objetos de $\mathbb{N}_0$ y $\mathbb{N}_1$ no son isomorfos, ya que el conjunto de sentencias que satisfacer son diferentes.

Así que me parece que $\mathbb{N}$ no puede verdaderamente ser atrapado. Además, su categoricity es, en cierto sentido, ilusoria. Es esto correcto, o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Si usted es un Platónico, o en cualquier otro sentido, creo que hay un "verdadero" conjunto de los números naturales, entonces usted ha fijado. Si usted cree que hay un hormigón universo de los conjuntos, y supongo que incluso satisface los axiomas de $\sf ZF de dólares, luego de que el universo de $\omega$ puede ser considerado como el único y verdadero conjunto de los números naturales.

Pero si usted no es un Platónico. Si usted es un formalista, o el apoyo a un multiverso enfoque, o tal vez simplemente no se preocupan lo suficiente como para creer que una cosa es verdadera o de otro, entonces, de hecho, hay un ligero problema porque se puede cambiar entre los modelos de $\sf PA$ y modelos de $\sf ZF$, y así obtener diferentes "true" números naturales.

Pero el punto es este, en mi opinión, que cuando nos ponemos a trabajar y nos tomamos $\sf ZF$ a ser nuestro fundacional de la teoría, luego solucionamos un universo de la teoría de conjuntos en las que trabajamos. Y de ser fundamental de este universo no puede estar en desacuerdo con la noción de números naturales procedentes de la lógica fuera de ella (así, en particular, que va a tener otros modelos de $\sf ZF$ dentro de ella). A continuación, los números naturales son los $\omega$ de ese universo.

Cuando haya terminado de trabajar con este universo de tirarlo a la papelera, y obtener otro cuando lo necesite. O usted puede guardar el universo en un libro de recuerdos si te gusta.

La razón por la que podemos hacer esto, o mejor aún, la razón por la que las personas no se preocupan por los problemas fundamentales en muchos lugares a través de las matemáticas, es que podemos usar las propiedades que son internos a ese conjunto, y por lo tanto son verdaderas en cualquier conjunto con esas propiedades, independientemente de ser el "verdadero" o "falso" conjunto de los números naturales. Si usted escribe la frase $\lnot\rm Con(\sf PA)$, y se muestra para ser independientes de $\sf PA$ a continuación, usted ha demostrado que la lógica de primer orden es insuficiente para determinar la verdad de las propiedades de los números naturales. Pero aquellos que no son suficientes para determinar un montón de cosas, y la mayoría de la gente no le importa cambiar a segundo orden en algunos de los casos. En caso de que el argumento anterior no lleva a cabo.

Answer 2

Hay tres conceptos íntimamente relacionados:

• La colección de números naturales

• La colección de la (correcta) pruebas

• La colección de secuencias finitas de un fijo de alfabeto finito (por ejemplo, la colección de secuencias finitas de 0s y 1s).

Olvidándose de los sistemas formales por un momento, si nos puede precisar sólo uno de estos tres conceptos, los otros dos también va a ser atrapado en el suelo - pero es muy difícil definir cualquiera de estos tres conceptos, sin referencia a los demás. Esa dificultad en la muestra, en particular, cuando tratamos de definir los números naturales en los sistemas formales, o tratar de formalizar las pruebas dentro de un sistema formal como ZFC.

No hay ninguna razón por la que debemos interpretar esto como diciendo que el categoricity de $\mathbb{N}$ es "ilusorio" - también se podría ver como diciendo que eficaz que los sistemas formales son simplemente nunca lo suficientemente fuerte como para demostrar que todo número teórico de verdades. Esta deficiencia de los sistemas formales sólo afecta a $\mathbb{N}$ en la configuración de donde $\mathbb{N}$ se define mediante un sistema formal. Muchos matemáticos sentir que ya entienden lo que $\mathbb{N}$ es antes de aprender nada acerca de los sistemas formales, sin embargo.

Answer 3

Sí, estás en lo correcto, al menos en algún sentido.

Pero en vez de pensar que "los números naturales", prefiero pensar más a lo largo de las líneas de, para cada (adecuado) de conjunto teórico universo, hay un modelo en particular de $\mathbb{N}$ una útil relación con el universo que lo contiene.

Answer 4

Cuando se habla de "números naturales" hoy en día, uno se da cuenta de que estos son infinitos en número, pero uno también tiene normalmente en la mente de hormigón números de contar, como ejemplos. Un experimento indican que los números naturales son, quizás, más especulativo/ideal de lo que generalmente se piensa: considere la posibilidad de un ordenador del tamaño del universo, el cómputo de la duración del tiempo asignado para nuestro universo, y permitido el uso de rápido crecimiento de funciones tan rápido como el equipo puede diseñar. Deja $$ N ser el entero más grande que se puede expresar con todo el espacio asignado y el tiempo, suponiendo que el más eficiente del equipo de diseño y software. Ahora toma la cantidad de $N+1$. Este número no puede, ni siquiera en principio ser expresado en cualquier tipo de significado del término. Para todos los efectos prácticos, este número es "infinito" o, en todo caso "inaccesible". Lo que estoy tratando de sugerir es que las propiedades de estos números pertenecen a la esfera de lo ideal, tal vez ofreciendo un consuelo para ser incapaz de pin con ellos de la manera más concreta como la típica "contando los números".

De hecho, este tipo de observación es la motivación y punto de partida de Edward Nelson de la teoría (ver http://www.ams.org/journals/bull/1977-83-06/S0002-9904-1977-14398-X/home.html) donde algunos enteros son "estándar" (es decir, "accesible"), y algunos no lo son. La discusión anterior se interpreta como lo que sugiere que los enteros no son tan "uniforme" como se cree que cuando uno tiene ordinario "conteo de números" en la mente. La estratificación introducido por Nelson en términos de un nuevo predicado "estándar" de los resultados en un sintáctica de enriquecimiento de la tradicional ZFC donde la habitual reales contienen infinitesimals y uno puede hacer el cálculo infinitesimal de Leibniz. Así que la "singularidad" de los números naturales resulta ser un activo en lugar de lo contrario.