Sé que esta pregunta es fácil, pero en realidad experimento una especie de eclipse intelectual y no encuentro la manera fácil de resolver el problema descrito.
Lo sabemos: $n^2+p^2=m^2$ y $n^2+(p+n)^2=k^2$ . Nuestro propósito es una manera fácil de demostrar que $k\notin \mathbb{Z}_+$ si $(n,p,m)\in \mathbb{Z}_+^3$ .
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abiessu
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No se me ocurre ninguna razón por la que deba aplicarse lo siguiente, pero tampoco se me ocurre ninguna forma más sencilla de resolver esta cuestión:
En primer lugar, está claro que si $(n,p+n,k)$ no es un triple reducido, entonces $(n,p)=(n,p+n)$ debe ser mayor que $1$ y por tanto que $(n,p,m)$ no es un triple reducido, y no merece la pena seguir considerándolo, ya que el factor puede dividirse simplemente como de costumbre. Así que consideramos $(n,p,m)$ y $(n,p+n,k)$ sean triples primitivos. Puesto que ambos son primitivos, esto significa que $m,k$ también son impar; $k$ sólo puede ser impar si $p$ es impar y $n$ es par (¿por qué?).
Estos triples tienen este aspecto:
$$n^2+p^2=m^2\\ n^2+(p+n)^2=k^2=m^2+2np+n^2$$
Si juntamos esto con las fórmulas de Euclides para los triples pitagóricos, tenemos:
$$\begin{align} n&=2xy=2st\\ p&=x^2-y^2=s^2-t^2-2st\\ p+n&=2xy+x^2-y^2=s^2-t^2\\ m&=x^2+y^2\\ k&=s^2+t^2 \end{align}$$
Entonces podemos considerar los residuos cuadráticos. El módulo obvio es $p$ por lo que tenemos $n^2\equiv m^2\pmod p$ y también $n^2+(n+p)^2\equiv 2n^2\equiv k^2\pmod p$ . Desde $(n,p)=1,\exists n^{-1}\pmod p$ y así $2\equiv (n^{-1})^2k^2\pmod p$ lo que significa que $2$ es un residuo cuadrático $\mod p$ que sólo es posible si $p=8q\pm 1.$ Uno de $x,y$ es par y la otra es impar; la impar cuadra a $4u^2-4u+1$ que es $1$ más un número divisible por $4$ pero también $u^2-u$ es siempre par, por lo que el número impar se eleva al cuadrado de un número que es $8v+1$ Esto significa que cuando $p=x^2-y^2$ el número par también debe tener un factor mínimo de $8$ en su cuadrado, lo que significa que el número par debe ser divisible por $4$ . Entonces $n=2xy$ también tiene un factor mínimo de $8$ y $x^2+y^2$ es de la forma $8w+1$ y lo mismo ocurre con $s^2+t^2$ . Por lo tanto $8\mid k-m.$
Ahora podemos decir que $k=m+8a,k^2=(m+8a)^2=m^2+16a+64a^2=m^2+2np+n^2,$ lo que significa que
$$64a^2+16a=2np+n^2 \tag 1\\ a={-16\pm\sqrt{16^2+4(2np+n^2)}\over 128}\\ ={-8\pm\sqrt{64+2np+n^2}\over 64}$$
Debemos ser positivos $a$ así que tomamos la rama positiva. También, $n=8b$ desde $8\mid n$ por lo que tenemos
$$a={-1+\sqrt{b^2+2bp+1}\over 8}\tag 2$$
Pero para que $a\in\Bbb Z^+$ debemos tener
$$\sqrt{b^2+2bp+1}=8r+1\implies b^2+2bp+1=64r^2+16r+1\implies 4\mid b$$
Así que ahora tenemos $b=4c\implies n=32c$ . Volviendo a nuestra ecuación $(1)$ ,
$$\begin{align}64a^2+16a&=2np+n^2\\ &=64cp+32^2c^2\\ \implies 4a^2+a&=4cp+64c^2 \end{align}$$
Pero ahora esto significa que $4\mid a$ ou $a=4d$ . Parece que tenemos un escenario de descenso infinito, así que ahora lo comprobamos volviendo a $(2)$ y asegurándose:
$$d={-1+\sqrt{16c^2+8cp+1}\over 32}$$
y una vez más obtenemos que $d\in\Bbb Z^+$ requiere $\sqrt{16c^2+8cp+1}=32f+1$ ou $16c^2+8cp+1=32^2f^2+64f+1\implies 2c^2+cp=128f^2+8f\implies 8\mid c$ . Ahora $n=256g$ pero el cambio es por un factor de $8$ en lugar de $4$ por lo que tenemos que comprobar de nuevo con $(1)$ :
$$64a^2+16a=2np+n^2\\ 32^2d^2+64d=512gp+256^2g^2\\ \implies 16d^2+d=8gp+32^2g^2$$
Esto muestra todos los signos del descenso infinito (ahora $8\mid d$ donde anteriormente $a=4d$ ...), lo cual es insostenible para números enteros positivos. Por lo tanto, no puede haber tal triple pitagórica $(n,p,m)$ donde $(n,p+n,k)$ también es un triple pitagórico.
naslundx
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Cualquier triple pitagórico puede generarse a partir de dos enteros $x$ y $y$ (suponiendo $x>y$ ) mediante la fórmula de Euclides. En particular, existe $x$ y $y$ tal que:
$$n = x^2 - y^2$$ $$p = 2xy$$ $$m = x^2 + y^2$$
Es fácil ver que $n^2 + p^2 = m^2$ en este caso.
Sin embargo, suponiendo que existan enteros $u>v$ tal que:
$$n = u^2 - v^2$$ $$p = 2uv - n = 2uv - u^2 + v^2$$ $$k = u^2 + v^2$$
Obtenemos una contradicción:
$$n^2 + p^2 = (u^2 - v^2)^2 + (2uv - u^2 + v^2)^2 = 2u^4 - 4u^3v + 4uv^3 + 2v^4 \not= u^2 + v^2 = k^2$$
