¿Qué aspecto tiene el típico grupo no soluble?

Question

De acuerdo al resultado de Higman y Sims (que aprendí en este papel de Poonen) el típico p-grupo 3-paso nilpotent de una forma particular. En particular, el grupo típico es un 3-paso nilpotent 2-grupo de una forma particular. Por típico de aquí me refiero a que con el tiempo el número de estos grupos de dominar.

Se sabe algo de lo que la típica, no solucionable grupo parece? Probablemente algún tipo de modificación de PSL_2(F_p)?

Answer 1

Parece que, si grupos solubles todo lo demás dominan, entonces los grupos con un solo %#% factor de #% y todos los demás factores cíclicos además deben dominar a todo tipo de grupo nonsolvable.

Answer 2

Parece plausible que el típico grupo de nonsolvable finito tiene un factor de composición $PSL_2(F_p)$, sí. Supongo que podría intentar comprobarlo mirando la clasificación de grupos simples finitos y mostrando que el PSL_2 domina todo lo demás. No tengo un sentido de cuánto trabajo sería realizar esto (asumiendo, por supuesto, que es verdad): parece que tipo de preguntas clásicas en teoría analítica del número, pero con factores de Jordan-titular reemplazando a los números primos.

Answer 3

No tengo acceso razonable a internet en el momento, pero voy a editar y añadir referencias cuando puedo.

Hay un viejo papel que se llama "Casi Cada grupo es solucionable", donde se considera un grupo finito y sus jordania titular de la descomposición. Haciendo caso omiso de todos los factores que son cíclicos grupos, uno multiplica el tamaño de los restantes factores y se divide por el tamaño del grupo. Esto le da un número que es igual a <=1, y es igual a 1 sólo para nonabelian simple grupos. Se muestran en la que el papel que el "promedio" sobre todos los grupos de esta estadística es de 0. En otras palabras, la mayoría simple de la composición de los factores cíclicos abelian grupos.

No sé lo suficiente acerca de PSL_2(F_p) para decir si esto se ajusta a la ley (en otras palabras, a medida que p aumenta, ¿cuál es el gráfico de esta estadística).

Answer 4

Incluso si usted se está preguntando acerca de la "típica" de un grupo de orden $\leq n$, la respuesta es que nadie sabe, por lo que esta $A_5$ idea para un mucho más delicada cuestión es poco más que una pura especulación. Si entiendo el estado de la técnica correctamente, es completamente abierta si solucionable grupos son una mayoría. Los datos, por supuesto, es compatible con un fuerte conjetura: que asintóticamente casi todos los grupos se $2$-grupos. Lo que se conoce ahora, es un número de buena asintótica estimaciones, en particular, un Pyber del papel en los Anales (1993), la obtención de una ajustada asintótica para el registro del número de grupos de orden $\le n$ (se pone un límite superior de coincidencia de la Higman-Sims límite inferior). Para más sobre esto, lea esta buenísimo reciente monografía.