Llenar las lagunas de mi conocimiento para entender la cuestión de la tmf.
Así que, ¿qué es el análogo de la curva elíptica sobre la categoría de espectros?
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ricree
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Jacob Lurie tiene notas sobre esta cuestión: (pdf). La respuesta corta es "una orientación espectral (o derivada) curva elíptica." Una respuesta más primitiva está dada por un espectro elíptico (debido a Hopkins y Miller), que es una teoría de cohomología incluso periódica orientada al complejo, una curva elíptica y un isomorfismo entre el grupo formal correspondiente a la teoría de cohomología y el grupo formal de la curva elíptica.
Zack Peterson
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En primer lugar usted debe saber lo que es un "derivado del esquema" (o "espectral del sistema"). A grandes rasgos, este es el mismo como un simple esquema, excepto que en lugar de localmente siendo la Especificación de un ordinario anillo conmutativo, es localmente la Especificación de una dirección de E-infinito anillo de espectro, o simplemente E-infinito anillo para el corto. Un E-infinito anillo no es el mismo que el de un anillo de espectro; un anillo de espectro es algo que es "un anillo hasta homotopy", y una dirección de E-infinito anillo es algo que es "un anillo hasta coherente homotopy".
Como un espacio topológico, la Especificación de una dirección de E-infinito anillo a se define como la Especificación de pi0(A), que es una corriente anillo conmutativo. La diferencia es que la gavilla de funciones no es ya una gavilla por primicia de los anillos, pero una gavilla de E-anillos infinitos. Esta gavilla de E-infinito anillos es (de forma análoga a la estructura de la gavilla para el común de los afín esquemas), definido por Uf -> A[f-1], donde Uf es un distinguido abrir subconjunto, y la localización de Un[f-1] es ahora tomado en la categoría (o más bien infinito categoría) de E-infinito anillos (consulte la sección 2.2 de Lurie encuesta para una caracterización de esta localización).
Hay una natural functor de derivados de los esquemas a los esquemas. Es (X, OX) -> (X, pi0(OX)), donde pi0(OX) denota la sheafification de la presheaf U -> pi0(OX(U)).
Luego 4.1 Definición de Lurie encuesta artículo define una curva elíptica sobre un E-infinito anillo: es un conmutativa grupo a-E -> Spec tal que (E, pi0(OE)) -> Spec pi0(A) es una corriente de curva elíptica sobre pi0(A).
Creo que uno de los punchlines es que no es un derivado de Deligne-Mumford módulos de la pila de orientado derivados de curvas elípticas, que se convierte en el ordinario Deligne-Mumford módulos de la pila de ordinario curvas elípticas después de golpearlo con pi0. Tomando global de las secciones de esta derivados de los módulos de la pila es más o menos tmf. No tengo una buena explicación breve de lo que es la orientación, pero en el comienzo de la sección 3 de la encuesta.
Por desgracia creo que muchos de los detalles de este material todavía no están disponibles. (Creo que se supone que debe ser en "DAG VII: Espectral Esquemas"; puede haber algunos consejos y material relacionado en "DAG V: Estructurado Espacios".)
