Soluciones no triviales para cyclotomic polinomios

Question

Estoy en busca de expresiones algebraicas que resolver una ecuación polinómica, en particular, de un arbitrario cyclotomic polinomio. Convengamos en que no estamos hablando de expresiones tales como $e^{2\pi/7}$. Mi problema es distinguir entre aquellas expresiones que voy a llamar "trivial" y "no trivial".

Normalmente, las expresiones algebraicas con radicales signos de admitir múltiples opciones para el valor de la expresión radical: dos para una raíz cuadrada, de tres de una raíz cúbica, etc. Voy a definir un "no trivial" solución algebraica como una expresión de los radicales tales que para cualquier elección de valores, la expresión es siempre una solución de la ecuación. Ejemplo: para cualquier ecuación de segundo grado, hay dos opciones para la raíz cuadrada, y ambas opciones dan soluciones correctas.

Para el quinto cyclotomic polinomio, la solución (que miré hacia arriba) está dada por la expresión: \[ \frac{\sqrt5 - 1}4 + \frac{\sqrt{-5 - \sqrt5}}8 \] Esta expresión toma cuatro valores posibles, y cada uno de ellos es en realidad una verdadera solución de la quinta cyclotomic polinomio. Podría parecer que se tarda en ocho valores porque hay tres opciones de la raíz cuadrada, pero dos de ellas debe ser la misma elección: usted no puede tomar un valor de la raíz cuadrada de cinco, y luego, más tarde en la misma expresión de cambiar el valor.

Por otro lado, tenemos una alternativa de solución para el mismo polinomio: \[ 1^{1/5} \] Me definen como una solución "trivial", porque se toma en cinco valores posibles, pero sólo cuatro de ellos son las verdaderas soluciones de la quinta cyclotomic polinomio. Esta expresión es, por supuesto, no trivial de la solución de la no-polinomio irreducible $x^5 - 1 = 0$, pero ese no es el polinomio de lo que estamos hablando.

Recientemente he publicado una pregunta similar, que creo que fue respondido correctamente por Pablo Garret, pero no estoy del todo seguro de que a todos los que participaron en la discusión que se estaba trabajando en la misma pregunta. Espero que esto te aclare la situación.

Mi pregunta, entonces, es: ¿todos los cyclotomic polinomios tienen "no trivial" soluciones? Si no, ¿cuál es la menor polinomio para que una solución de este tipo (a) no es conocida, o (b) se demuestra que no existe? No puedo creer que esta pregunta es una tontería, y yo estaría muy sorprendido si no ha sido contestada en la literatura.

EDITAR estoy muy gratificante que ustedes tenían un poco de diversión con mi pregunta. Siempre me ha encantado este tema y creo que es el milagro más grande de todas las matemáticas que las seis opciones de la cúbico fórmula (tres raíces cúbicas y dos raíces cuadradas) se puede hacer de forma lógica y sin ambigüedades colapso a exactamente tres valores.

Porque sólo tengo una marca de verificación a premio por "aceptado respuesta", de los muchos que merecen los contribuyentes, I premio de mi codiciada marca de verificación a Ben. Gracias de nuevo chicos.

Answer 1

Después de más de pensamiento, me siento bastante seguro para reclamar en una respuesta que $1^{1/5}$ es no una "solución en radicales" a $x^5-1=0$ en el sentido de que está garantizado por la solvencia de la ecuación del grupo de Galois. Creo que el tipo de solución que la solvencia de la Galois grupo implica que existe es exactamente un "no-trivial de" la solución en su sentido.

La "solución de los radicales" que está garantizado por la solvencia del grupo de Galois de un polinomio $f$ es realmente una "raíz de la torre"$\mathbb{Q}$: una torre de campos, comenzando con $\mathbb{Q}$ y terminando con un campo que contenga $f$'s división de campo, en el que cada campo se obtiene a partir de la última por que se adhiere a la $p$th raíz de algunos de los mejores $p$.

$$\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}[r_1]\subset\dots\subset\mathbb{Q}[r_1,\dots,r_k]$$

donde para cada una de las $r_j$ hay un primer $p_j$ tal que $r_j^{p_j}$ ya estaba en el campo anterior $\mathbb{Q}[r_1,\dots,r_{j-1}]$ pero $r_j$ no lo es. El mecanismo de la prueba es que si el grupo de Galois $G$ tiene solución, entonces no es una composición de la serie

$$G=G_0 \triangleright G_1\triangleright \dots \triangleright G_k=\{1\}$$

de tal manera que cada factor de grupo $G_{j-1}/G_j$ es cíclico de primer orden $p_j$. Por el teorema fundamental de la teoría de Galois, por lo tanto existe una torre de campos

$$\mathbb{Q}=K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_k=\mathrm{splittingfield}(f)$$

donde $K_j$ tiene el grado $p_j$$K_{j-1}$. Posiblemente adyacentes algunos elementos extra, se puede garantizar que cada extensión de campo que puede ser logrado por el que se adhiere a la $p_j$th "root" en el campo anterior (en otras palabras, la raíz de $r_j$ del polinomio $x^{p_j}-a$ donde $a$ es en el campo anterior), de modo que la torre tiene la forma de arriba (una "raíz de la torre"). Ya que el exceso de elementos que se han agregado, el campo final, ahora puede ser más grande que la de $f$'s división de campo. (Yo soy de barrido algunos posiblemente detalles pertinentes bajo la alfombra aquí: los elementos adicionales que se necesitan para colindantes son, precisamente, las $p_j$th raíces de la unidad. El argumento, cuando se aplica a cyclotomic polinomios, es salvado de la circularidad por inducción sobre el tamaño de los números primos.)

El punto clave es esta: cuando $p_j$th raíces son contiguos, el campo de las extensiones tienen un grado $p_j$. Esto significa que el polinomio $x^{p_j}-a$ $r_j$ es una raíz que debe ser irreductible más de $K_{j-1}$. Si el polinomio era reducible, $r_j$ sería la raíz de un polinomio de grado menor que $p_j$ $K_j=K_{j-1}[r_j]$ tienen un grado menos de $p_j$$K_{j-1}$.

A lo que voy es que el $p$th raíces que se adhieren a cada paso en una "solución por radicales" son todas las raíces de los polinomios $x^p-a$ que son irreducibles sobre el campo anterior. En particular, $$ \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}[1^{1/5}]$$ no es una solución de $x^5-1$ por los radicales en este sentido, debido a que $x^5-1$ no es irreducible sobre $\mathbb{Q}$. De hecho, en este contexto, como se nota, $1^{1/5}$ ni siquiera tiene un significado preciso. Podría ser $1$, en cuyo caso esto no es un trivial de extensión de campo. Por otro lado, también podría ser cualquiera de las cuatro primitivas quinto raíces de la unidad y, a continuación, la expresión $\mathbb{Q}[1^{1/5}]$ tendría un significado determinado hasta el isomorfismo, pero aún así no sería una "solución por radicales" ya que la quinta raíces de la unidad no resolver un polinomio irreducible de la forma $x^p-a$.

Además, las soluciones de una ecuación facilitada por una "solución por radicales" de este tipo son las de siempre "no trivial" en su sentido. Ya que en cada etapa de la adherido a raíz de $r_j$ es una raíz de un polinomio irreducible sobre $K_{j-1}$, reemplazándolo con cualquier otro raíz de este polinomio se induce un automorphism de $K_j$ fijación $K_{j-1}$ pointwise. Al final de todo, las raíces de $f$ (el original polinomio para ser solucionado) son los elementos de la parte superior del campo de $\mathbb{Q}[r_1,\dots,r_k]$; por lo tanto son expresiones racionales en $r_1,\dots,r_k$ con coeficientes racionales. La sustitución de cualquiera de las $r_j$'s con una raíz diferente del mismo polinomio irreducible era una raíz de tanto induce una automorphism de la parte superior del campo de $\mathbb{Q}[r_1,\dots,r_k]$ que corrige $\mathbb{Q}$ pointwise. Por lo tanto, cualquier expresión en $r_1,\dots,r_k$ que resuelve $f$ todavía solucionar $f$ después de esta sustitución.

Para realizar la conexión a la pregunta explícita, esto significa que el cyclotomic polinomios, porque tienen solucionable grupos de Galois, todos tienen legítimo / "no trivial" soluciones radicales, y este resultado se remonta a los días de Gauss y de Galois.

Answer 2

El grupo de Galois sobre los racionales del campo obtenida por el que se adhiere a la primitiva $n$th raíz de la unidad es abelian, a fortiori, solucionable. De ello se sigue que cualquier primitiva $n$th raíz de la unidad puede ser expresado en los radicales, y la expresión "no será trivial" en el sentido en que se utiliza la palabra. Encontrar la expresión radical puede ser una molestia, incluso para las medianas de los valores de $n$, y no sé de referencia donde se puede ir para encontrar tales expresiones.