100 derivado de la $e^{-x^2}$ a punto de $0$

Question

Problema: Encontrar $\frac{\mathrm d^{100}}{\mathrm dx^{100}}e^{-x^2}$ a punto de $0$.

Mi intento:
$y'=-2xe^{-x^2}$ He intentado Generales de uso regla de Leibniz y yo no tenía mucha mejor información.

Sin: desarrollo en serie de Taylor

Answer 1

Desde el enfoque más evidente es prohibido propongo la siguiente (grande) desvío:

Es bien sabido que la transformada de Fourier de una Gaussiana es de nuevo una Gaussiana. E. g., uno tiene $$\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}\cos(\omega t)\>dt=\sqrt{2\pi}e^{-\omega^2/2}\qquad(\omega\in{\mathbb R})\ .$$ Poner a $\omega:=x\sqrt{2}$ y la sustitución de $t:=\tau/\sqrt{2}$ conduce a $$f(x):=e^{-x^2}={1\over 2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\tau^2/4}\cos(x\tau)\>d\tau= {1\over \sqrt{\pi}}\int_0^\infty e^{-\tau^2/4}\cos(x\tau)\>d\tau\ .$$ Dado que estamos trabajando aquí en el espacio de Schwartz ${\cal S}$ nos puede diferenciar de un centenar de veces bajo el signo integral y obtener $$f^{(100)}(x)={1\over \sqrt{\pi}}\int_0^\infty \tau^{100}e^{-\tau^2/4}\cos(x\tau)\>d\tau\ .$$ Poner a $x:=0$ aquí y sustituyendo $\tau:=2\sqrt{u}$ conduce a $$f^{(100)}(0)={2^{100}\over \sqrt{\pi}}\int_0^\infty e^{-u} u^{99/2}\>du={2^{100}\Gamma(101/2)\over\sqrt{\pi}}={100!\over50!}\ .$$

Answer 2

Desde $$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(1+\frac xn\right)^n &=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^{n-1}\\ &=e^x \end{align}$$ y $$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x\\ &=e^x \end{align}$$ podemos intercambio de derivados con los límites de $\left(1+\frac xn\right)^n$.

Usando el Teorema del Binomio, obtenemos $$\begin{align} \left.\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{100}\left(1-\frac{x^2}{n}\right)^n\right|_{x=0} &=\left.\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^{100}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}\frac{x^{2k}}{n^k}\right|_{x=0}\\ &=\binom{n}{50}\frac{100!}{n^{50}} \end{align}$$ Tomando el límite, obtenemos $$\lim_{n\to\infty}\binom{n}{50}\frac{100!}{n^{50}}=\frac{100!}{50!}$$