Sistema de ecuaciones diofantinas

Question

Estoy trabajando en este problema que encontré en internet pero aún no tengo solución. El problema dice: Encontrar todos los números primos p que son tales que $p+1=2x^2$ y $p^2+1=2y^2$ donde x e y son números enteros.

Editar: a lo que he llegado.
He escrito $p=2p_1+1$ . Después de esto, la segunda ecuación se convierte en $2p_1^2+2p_1+1=y^2$ que se reescribe como $p_1^2+x^4=y^2$ en la que sólo tenemos que encontrar triples pitagóricos.

Answer 1

Supongamos que wlog $x,y >0$

Reste inicialmente las dos ecuaciones para obtener $p(p-1)=2(y-x)(y+x)$
Si $p \mid (y-x) \Rightarrow p \leq y-x \Rightarrow p-1 \geq 2(y+x)$ por lo que podemos ver que $y-x > 2(y+x) \Rightarrow y+3x<0$ contradicción.

Por lo tanto, $p \mid (x+y) \Rightarrow p\leq x+y \Rightarrow p-1\geq 2(y-x)$ así que $x+y \geq 2(y-x) \Rightarrow y<3x \Rightarrow y^2<9x^2 \Rightarrow p^2+1<9(p+1)$

Ahora sólo tenemos que resolver $p^2-9p-8<0$ de lo que se deduce que $p<10$ y comprobando los posibles valores obtenemos $p=7$ .

Answer 2

La solución general de las ecuaciones diofantinas mediante triples pitogóricos es:

$$x^2 + y^2 = z^2$$

Y $$(x, y, z) = (2rs, r^2 -s^2, r^2 +s^2)$$

Puede utilizarlo para encontrar $p_1$ y $p$

EDITAR

Obsérvese que en la segunda ecuación podemos reescribirla para obtener

$$\large p^2 - 2y^2 = -1$$

Este es un ejemplo de Ecuación Pell , donde $D = 2$

Puede utilizar la expresión de la fracción continua para el $\sqrt{2}$ para encontrar una solución fundamental:

$$\large \sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2 +...}}}$$

Y así son los convergentes:

$$\frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, ...$$

A partir de los convergentes, podemos ver que la primera solución es cuando $p = 7$ y $y = 5$ (la primera solución es técnicamente, $(1,1)$ pero $1$ no es primo).

Evaluando los convergentes, podemos ver que la 1ª, 3ª, 5ª, etc. son soluciones de la Ecuación de Pell.

Puede ver más sobre el tema aquí

Espero que esto haya ayudado.

Answer 3

$$p+1=2x^2,p^2+1=2y^2\\ 2y^2-1=(2x^2-1)^2\\ y^2=2x^4-2x^2+1\\ y^2=2x^2 (x-1)(x+1)+1$$ Supongamos que $y=2m+1,$ entonces $$y^2=4m(m+1)+1.$$ Por lo tanto, $$2m(m+1)=x^2 (x-1)(x+1).$$ $$\dfrac{m(m+1)}{2}=\dfrac{x(x-1)}{2}\times\dfrac{x(x+1)}{2}$$ No tengo idea de continuar con esto. Pero creo que encontrar los pares números del triángulo que puede satisfacer la ecuación $$\color{Green}{T_m=T_{x-1}T_x}$$ sería una ayuda para resolver este problema.