Condiciones para la serie de Fourier

Question

Leí que

Cualquier función "bien comportada" de período $2\pi$ puede ser expresada como una serie de Fourier.

¿Qué se califica como "bien comportada"? ¿Hay ejemplos de funciones que no pueden ser expresadas como una serie de Fourier?

Gracias.

Answer 1

Estoy asumiendo que estás interesado en la convergencia punto a punto de la serie de Fourier de una función. Para esto tenemos la prueba de Dini:

Supongamos que $f \in L^1[-\pi,\pi]$ es una función $2\pi$-periódica y considera el punto $x_0 \in \mathbb{R}$. Si $$\int_{0}^\pi \left|\frac{f(x_0+t) + f(x_0-t)}{2} - f(x_0)\right| \frac{dt}{t} < \infty,$$ entonces el límite $$\lim_{N \to \infty} S_N f (x_0) = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^N \widehat{f}(n) e^{inx_0} = \sum_{n=-\infty}^\infty \widehat{f}(n)e^{inx_0}$$ existe y es igual a $f(x_0)$.

Usando esto se puede demostrar, por ejemplo, que si $f$ es diferenciable en el punto $x_0$, entonces la serie de Fourier converge en ese punto.

Answer 2

Definitivamente deberías echar un vistazo a Prueba accesible del teorema $L^2$ de Carleson.

Ten en cuenta que:

1. La definición clásica del coeficiente de Fourier de una función $f$ funciona para $f\in L^1(-\pi,\pi)$.

2. $L^p(-\pi,\pi)\subset L^1(-\pi,\pi),$ $\ $ si $1\le p \le \infty$.

3. El teorema de Carleson (de Hunt) dice que la serie de Fourier de una función en $L^2(-\pi,\pi)$ ($L^p$ donde $p>1$ en el caso de Hunt) converge puntualmente casi en todas partes.

4. Para $L^1(-\pi,\pi)$ Kolmogorov construyó una función que diverge en todas partes.

EDITAR

Ten en cuenta que si una función $f$ es continuamente por partes y si $\int |f|^2<\infty$ entonces la función pertenece a $L^2$.

Answer 3

Te daré una de las partes fáciles de la respuesta. Hay una cuestión de qué se considera "bien comportado" y otra cuestión sobre qué se entiende por "expresado como".

Supongamos que la suma parcial $n$-ésima, es decir, la suma de los primeros $n$ términos de la serie de Fourier de la función $f$, es $S_n$. ¿Quieres que $\lim\limits_{n\to\infty} S_n = f(x)$? ¿Para cada valor de $x? Eso es una demanda bastante fuerte, y puede cumplirse para funciones $f$ suficientemente bien comportadas.

Pero supongamos que solo quieres que $S_n$ se acerque a $f$ en un sentido más débil: quieres que $\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\int_0^{2\pi} \left|S_n(x) - f(x)\right|^2\;dx=0.$ Eso sucederá si $f$ es cuadráticamente integrable, es decir, si $\displaystyle\int_0^{2\pi} \left|f(x)\right|^2\;dx<\infty$.

Hay muchos resultados más difíciles de demostrar y algunos de ellos tuvieron que esperar más de un siglo para ser demostrados.