Límite de la raíz n-ésima de $1/n$

Question

Estoy luchando por calcular el límite

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$$

He intentado tomar el logaritmo,

$\log(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n}\log({\frac{1}{n}})$ y establecer $t=\frac{1}{n}$ y reescribir el límite deseado como $e^{\lim_{t\rightarrow 0}t\log(t)}$,

y aquí me quedé atascado porque $\log$ no está definido en $0$.

¿Me perdí algo?

Gracias por leer.

Answer 1

$\left(\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{n}} \to 1$ porque:

$1 < \sqrt[n]{n} = \sqrt[n]{1\cdot 1\cdot 1...\cdot \sqrt{n}\cdot \sqrt{n}} < \dfrac{1+1+...+1 + 2\sqrt{n}}{n} = \dfrac{n-2+2\sqrt{n}}{n} = 1 -\dfrac{2}{n} + \dfrac{2}{\sqrt{n}}$. Aplicando el teorema del squeeze, se obtiene la respuesta.

Answer 2

Solo por diversión, aquí hay otra:

Considera $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^{n}$. Esta serie diverge en $x=1$ y converge en $x=-1$, por lo tanto, el radio de convergencia debe ser $1$. Aplicar la prueba de la raíz en esta serie da como resultado que el radio de convergencia es $\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}}}$, lo que muestra que $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}}=1$.

Ahora considera $x^{x}=e^{x\ln(x)}$. Al diferenciar obtenemos $(1+\ln(x))e^{x\ln(x)}$, que es negativo siempre y cuando $\ln(x)<-1$, es decir, $x<\frac{1}{e}$. Por lo tanto, $(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}}$ es eventualmente monótono. Esto, junto con $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}}=1$, demostró que $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}}=1$.

Answer 3

Según la regla de L'Hôpital tenemos

$$\lim_{t\to0}t\ln t=\lim_{t\to0}\frac{\ln t}{\frac1t}=\lim_{t\to0}\frac{\frac1t}{-\frac1{t^2}}=-\lim_{t\to0}t=0$$

Answer 4

Este es un asunto estándar. Espero que hayas elaborado primero una conjetura utilizando un programa de computadora o simplemente ingresando algunos números en la fórmula. (Deberías hacerlo, ya que es algo saludable).

Puedes continuar como empezaste (variable continua $t$) y escribir tu límite como

$$\frac{log(t)}{1/t},$$ (es decir, un cociente de infinitos) y aplicar el resultado que desees a tu límite indeterminado recién encontrado (L'Hopital), o puedes usar un resultado estándar sobre secuencias.

Sugiero, por ejemplo, el Criterio de D'Alembert o el Criterio del Cociente (busca en el Cálculo de Apostol, por ejemplo, en su capítulo sobre secuencias). (El teorema de Stoltz también funciona).

Una manera más agradable, que puede acompañarte el resto de tu vida, es la siguiente.

Considera $1+x_n=n^{1/n},$ y escribe la identidad $$n=(1+x_n)^n.$$

Puedes usar el teorema binomial de Newton aquí, y establecer (eligiendo tu término favorito, yo elegiré el término de grado 2) que, por ejemplo, $$n> \frac{n(n-1)}{2} x_n^2 \geq 0.$$

Después de aislar, verás inmediatamente cuál es el resultado esperado.

Tu secuencia está muy relacionada con esta.

Hay muchos recursos disponibles en línea, por ejemplo, http://planetmath.org/proofoflimitofnthrootofn

SOBRE POLINOMIOS Y EXPONENCIALES: En realidad, hay recetas como esta: el exponencial siempre vence a un polinomio, o a una potencia de $x$, cuando $x\to +\infty.$ El argumento sería muy similar. Por ejemplo, si quieres demostrar que, para $a>1$,

$$\frac{a^x}{x^p}$$ tiende a infinito; puedes restringirte a $x=n$, y luego comparar (escribe $a=1+b$, para $b>0$)

$$(1+b)^n= 1 + nb + \cdots + \frac{n(n-1)\ldots (n-p+1)}{(p+1)!} b^{p+1} + \cdots,$$ lo cual claramente es mayor que $n^p$, cuando $n \to \infty$.

Te dejo como ejercicio para que veas qué pasa cuando $x\to +\infty$ (toma la parte entera $n=n(x)$ de $x$, y limita el numerador y el denominador comparando adecuadamente $f(x)$ con $f(n)$).