Cuántos rayos X hace una bombilla de luz emiten?

Question

Leí en alguna parte que la mayoría de las cosas¹ emite todos los tipos de radiación, sólo muy pocos de algunos tipos. Así que me preguntaba si existe una fórmula para calcular la cantidad de rayos X de una de 100W bombillas de luz incandescente que se emiten, por ejemplo, en fotones por segundo. Por ejemplo, ya sabemos que se emite infrarrojos y luz visible.

Me resulta difícil describir lo que he intentado. He buscado en la internet para una fórmula, pero no podía encontrarla. Sin embargo, yo pensaba que esto era una pregunta interesante, así que he publicado aquí.

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¹ los agujeros Negros no emiten ningún tipo de radiación exceptuados por la radiación de Hawking si tengo derecho.

Answer 1

La fórmula que desea que se llama la Ley de Planck. Copiado De La Wikipedia:

El espectro de radiación de un cuerpo, $B_{\nu}$, se describe la cantidad de energía que emite como radiación de diferentes frecuencias. Se mide en términos de la potencia emitida por unidad de área del cuerpo, por unidad de sólidos ángulo que forma la radiación se mide a través de, por unidad de frecuencia.

$$B_\nu(\nu, T) = \frac{ 2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^\frac{h\nu}{k_\mathrm{B}T} - 1}$$

Ahora para trabajar la potencia total emitida por unidad de área por ángulo sólido por nuestra bombilla de luz en rayos-X de la parte del espectro electromagnético que podemos integrar este hasta el infinito:

$$P_{\mathrm{X-ray}} = \int_{\nu_{min}}^{\infty} \mathrm{B}_{\nu}d\nu,$$

donde $\nu_{min}$ es donde nosotros (un poco arbitrariamente) elegir la menor frecuencia de los fotones que podríamos llamar un fotones de rayos X Digamos que un fotón con un 10 nm de longitud de onda es nuestro límite. Digamos también que 100W bombilla tiene una temperatura de superficie de 3.700 K, la temperatura de fusión del tungsteno. Este es un muy generoso límite superior - parece un número típico podría ser 2,500 K.

Podemos simplificar esto:

$$P_{\mathrm{X-ray}} = 2\frac{k^4T^4}{h^3c^2} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{x_{min}}^{\infty}x^3e^{-nx}dx,$$

donde $x = \frac{h\nu}{kT}$. wythagoras señala que podemos expresar esto en términos de la función gamma incompleta, para obtener

$$2\frac{k^4T^4}{h^3c^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4} \Gamma(4, n\cdot x)$$

Conectar algunas de las cifras revela que el n = 1 término domina a los otros términos, por lo que nos puede caer más altos de n términos, lo que resulta en

$$P \aprox 10^{-154} \ \mathrm{Wm^{-2}}.$$

Este es pequeño. En el transcurso de la vida del universo se puede esperar, en promedio, no X-Ray fotones a ser emitidos por el filamento.

Más exacto de los tratamientos se puede obtener más exacta de los números (que hemos ignorado el área de la superficie del filamento y el ángulo sólido factor, por ejemplo), pero el orden de magnitud es muy revelador - no hay ningún X-ray fotones emitidos por una bombilla estándar.

Answer 2

Las longitudes de onda de la luz emitida puede ser calculado usando tablas de la ley y la temperatura del objeto. Para el promedio de 100W bombillas de luz incandescente, el filamento está 2823 kelvin según google.

La radiancia espectral, $B$, es igual a $$\frac{1.2\cdot10^{52}}{\mathrm{longitud de onda}^{5}\cdot e^{\frac{1.99\cdot10^{43}}{\mathrm{longitud de onda}\cdot4\cdot10^{26}}}-1}$$

Matemáticas para resolver espectral resplandor es duro, así que esta online calculadora hará todo el trabajo. Los rayos X son de entre 0,01 nm y 10 nm. El total de resplandor en 10nm es de $2.7\cdot10^{-187}$fotones/s/m2/sr/µm. Eso es tan increíblemente pequeño, podría tomar un tiempo muy largo para que la bombilla se ha de emitir un xray fotón. La calculadora no se dará el espectral de la radiación de menor longitud de onda de los rayos x tan sólo tendremos que utilizar el más grande de los rayos X.

Con el fin de averiguar cuántos fotones por segundo que emite, necesita saber el área de la superficie del filamento. Es un pequeño de metal a sting, que sería difícil de encontrar, pero si usted realmente quiere, romper una bombilla y medir su longitud y diámetro, con una pinza. Estimación de la superficie de la zona con el área de la superficie de un cilindro fórmula a=ndh. Olvidar los extremos, son demasiado pequeños para molestar.

Si usted no quiere pasar por la molestia de romper una bombilla, hacer un salvaje adivinarla. 0.6 m de longitud y $5\cdot10^{-4}$ de diámetro, siendo generoso. área de 0,001 m². Por lo que $2.7\cdot10^{-187}$fotones/s/m^2/sr/µm, con el área de la superficie, $2.7*10^{-190}$ los fotones/s/sr/µm. Que los 8,5 fotones cada $10^{186}$ años. Tal vez si usted mira 100,000,000,000,000 bombillas de luz que puede captar un X-ray dentro de su vida.

Answer 3

Voy a dar una forma cerrada para la integral de Chris cundy t la respuesta.

Haciendo la sustitución $u=nx$, obtenemos $$\sum_{n=1}^{\infty} \int_{x_{min} \cdot n}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{u}{n}\right)^3e^{-u}\mathrm{d}u$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \Gamma(4,x_{min}\cdot n)$$

donde $\Gamma$ es la parte superior de la función gamma. Escribimos $a=x_{min}$ como se utiliza mucho para un nombre corto es más útil. El uso de la fórmula de reducción de la función gamma cuando el primer argumento es un entero, se obtiene: $$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n^4}e^{-}\left(6+6an+3a^2n^2+a^3n^3\right)\right)$$

$$6\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}e^{-} + 6a\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}e^{-}+ 3a^2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}e^{ -}+a^3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}e^{ -}$$

Ahora tenga en cuenta que $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}e^{-} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}} \left[\frac{1}{n}e^{-an}\right]=\sum_{n=1}^{\infty}-e^{-an}=-\sum_{n=1}^{\infty}(e^{-a})^n=1-\frac{1}{1-e^{-a}}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}e^{-} = \int 1-\frac{1}{1-e^{-a}} \mathrm{d} = - \ln|1-e^{-a}|$$

Vamos a llegar a los otros términos en una manera similar. El resultado final es:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \int_{a}^{\infty} x^3e^{-nx}dx = -6\mathrm{Li}dimm_4(e^a)+6a\mathrm{Li}_3(e^a)+6a^2 \mathrm{Li}_2(1-e^{-a})-9a^2\mathrm{Li}_2(e↑)\\+2a^3\ln|1-e^{-a}|-9a^3\ln|1-e^{un}|+5\frac{3}4^4$$

He utilizado un Sistema de Álgebra computacional para encontrar este formulario. $\mathrm{Li}_n$ es el polylogarithm función.