Encontrar $f$ como $f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(x^n)}{2^n}$

Question

Encontrar $f \in C^0([0,1] , \mathbb{R})$ como $$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(x^n)}{2^n}$$

Yo : Constante de las funciones de funcionar bien.
Podemos notar :
$$f(x) = \frac{f(x)}{2}+\sum_{n=2}^\infty \frac{f(x^n)}{2^n}$$ lo $$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(x^{n+1})}{2^n}$$ que me hacen creer constante funciones son el único a favor de el problema.
Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

$f$ es continua en el compacto $[0,1]$ $$\left\vert \frac{f(x^n)}{2^n}\right\vert\leq \frac{M}{2^n}$$

que asegura el normal convergencia y, a continuación, el pointwise convergencia.

Por otra parte,

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=1$ , en constante funciones son soluciones.

y volver a escribir la ecuación : $$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{f(x)-f(x^n)}{2^n}=0 $$

• Para definir $x<1$ : $m(x)$ es cualquier punto de $[0,x]$ donde $f$ alcanza su mínimo en $[0,x]$ $M(x)$ es cualquier punto de $[0,x]$ donde $f$ alcanza su máximo en $[0,x]$

Por definición de $m(x): f\bigl(m(x)^n\bigr)\ge f(m(x))$, para cada $n$. Así, la aplicación de la ecuación de $m(x)$, con un negativo término general que se puede deducir que $$ \forall n \quad f\bigl(m(x)^n\bigr)= f(m(x)) $$

Como $m(x)<1$ se puede pasar al límite como $n$ tiende a $+\infty$ y $$ f(m(x))=f(0) $$

Aplicando el mismo razonamiento a $M(x)$ : $$ f(M(x))=f(0) $$

Por lo tanto, en el intervalo de $[0,x], f$ es constante : $f$ es constante en [0,1) y por la continuidad en [0,1]