El fin de invertir matrices

Question

Recientemente me encontré con un problema interesante en Artin que dice:

Si $A \in GL_2(\mathbb{Z})$ es de orden finito, entonces tiene el fin de $1,2,3,4,6$. Yo estaba buscando una generalización de este problema. Por ejemplo, si fueran invertible finito de orden de las matrices con racional entradas, a continuación, de lo grande que tiene que ser tal que se ha pedido a $1,2,3,4,6$? ¿Qué tal si tiene entradas complejas?

Answer 1

Hay un papel de Burgisser que describe finito de orden de los elementos en la matriz de grupos. Los resultados de la prueba implica

No aparecen en los grupos $GL(n,\mathbb{Q})$, $GL(n,\mathbb{Z})$, $SL(n,\mathbb{Q})$, $SL(n,\mathbb{Z})$, $Sp(n,\mathbb{Q})$ y $Sp(n,\mathbb{Z})$ exactamente el mismo finito órdenes de elementos.

Además, describe exactamente las órdenes que son posibles :

Deje $m = \prod_{i=1}^h p_i^{a_i}$, donde los números primos $p_i$ satisfacer $p_i < p_{i+1}$ e donde:$a_i \geq 1$. Hay una matriz de $A\in Sp_n(\mathbb{Z})$ orden $m$ si y sólo si $$ (a)\quad \sum_{i=2}^h \varphi(p_i^{a_i}) \leq n \text{ si } m\equiv 2\pmod{4} $$ $$ (b)\quad\sum_{i=1}^h \varphi(p_i^{a_i}) \leq n \text{ si } m\neq 2\pmod{4} $$

Answer 2

Cualquier subgrupo finito de ${\rm GL}(n,{\mathbb Q})$ es conjugado a un subgrupo de ${\rm GL}(n,{\mathbb Z})$, por lo que se extiende a racional entradas no dan ningún adicional finito órdenes, o incluso isomorfismo tipos de subgrupos finitos.

Por otro lado ${\rm GL}(1,{\mathbb C})$ claramente tiene elementos de todos los posibles finito órdenes.