Tengo el siguiente teorema para probar por inducción:
$$ F_{n} \cdot F_{n+1} - F_{n-2}\cdot F_{n-1}=F_{2n-1} $$
Es mencionado en mi script para que la prueba debe ser posible sólo mediante el uso de la recursividad de los números de Fibonacci:$$F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$$
Yo sólo era capaz de la prueba de este teorema por el uso de otros teoremas, como yo no era capaz de prueba sin saber, sin una relación entre el$F_{n }$$F_{2n}$. La cosa es: yo sé que el teorema es verdadero, y tengo 2 pruebas diferentes, pero estoy buscando una elegante prueba sin el uso de otros conocimientos, aparte de la recursividad.
Inducción hipótesis: $$ F_{n} \cdot F_{n+1} - F_{n-2}\cdot F_{n-1}=F_{2n-1} $$ Queremos mostrar el siguiente también es cierto:
$$ F_{n+1} \cdot F_{n+2} - F_{n-1}\cdot F_{n}=F_{2n+1} $$
Así que transformar la inducción de la hipótesis mediante la adición de $F_{n+1}^2-F_{n-1}^2$:
$$ F_{n} \cdot F_{n+1} +F_{n+1}^2 - F_{n-2}\cdot F_{n-1} -F_{n-1}^2 = F_{n+1} \cdot F_{n+2} - F_{n-1}\cdot F_{n}=F_{2n-1} + F_{n+1}^2-F_{n-1}^2$$
Así que tenemos la LHS de lo que queremos mostrar. Habría que mostrar que $F_{n+1}^2-F_{n-1}^2=F_{2n}$ y la prueba se terminó. Yo no era capaz de la prueba esta, he probado con otro de inducción.
Otra idea era utilizar dos hipótesis de inducción: $$ (1) F_{n-1} \cdot F_{n} - F_{n-3}\cdot F_{n-2}=F_{2n-3} $$ $$ (2) F_{n} \cdot F_{n+1} - F_{n-2}\cdot F_{n-1}=F_{2n-1} $$
y, a continuación, $(2)-(1)= F_{n-2}$ nos daría: $$ F_{2n-2}= F_{n}^2-F_{n-2}^2$$ Esto se parece más prometedor, teniendo en cuenta nuestro problema en el último intento. Mediante la adición de (2) obtenemos: $$ F_{2n}= F_{n} \cdot F_{n+2} - F_{n-2}\cdot F_{n}$$ Mediante la adición de (2) de nuevo tendríamos: $$ F_{2n+1}= F_{n} \cdot F_{n+3} - F_{n-2}\cdot F_{n+1}$$ Ahora que uno necesitaría para mostrar esto es equivalente a lo que queremos demostrar. De nuevo yo no estaba éxito tratando de hacer esto.
Yo estaría muy contento si alguien podría enseñarme a una completa inducción de la prueba que no requiere de otros teoremas. Sé que este teorema es sólo un caso especial de los siguientes: $$ F_{n+m} = F_{n−1}\cdot F_{m} + F_{n}\cdot F_{m+1}$$, que de hecho es fácil de demostrar con la inducción. Pero yo sólo sé de este teorema de googeling y creo que no es necesario hacer una inducción a prueba de mi caso especial del teorema sólo asumiendo el caso general.
Espero que alguien quisiera que me ayudara!
