La primera observación a realizar es que Cech teoría es realmente muy general, y puede ser configurado para calcular el cohomology de cualquier complejo de abelian poleas en cualquier sitio (siempre que disponga de las cubiertas que son cohomologically trivial). Esto se explica por lo menos algo en SGA4, Exponer a los 5 y EGA III, Cap 0, sección 12.
Creo que debe ser el trabajo con la rigidez de la analítica del espacio adjunto a $X$, y no con la $\mathbf{Q}_p$-puntos de $X$, y el último realmente no tiene nada de bueno topología en ella, además de la totalmente desconectados inducida a partir de la topología en $\mathbf{Q}_p$.
Supongamos que $X$ tiene un modelo de
$\mathcal{X}$ $\mathbf{Z}_p$ , que es suave y adecuado y escribir $\widehat{\mathcal{X}}$
para la finalización oficial de $\mathcal{X}$ a lo largo de su cerrado de fibra. A continuación, el (Berthelot) genérico fibra $\widehat{\mathcal{X}}^{rig}$ $\widehat{\mathcal{X}}$ es una rígida analítica espacio que es canónicamente identificado con la rígida analytification de $X$ (uso propio). Por otra parte, uno tiene una "especialización" de morfismos" de los anillos de los sitios
$$sp:X^{an}\simeq \widehat{\mathcal{X}}^{rig}\rightarrow \widehat{\mathcal{X}}$$
con la propiedad de que para cualquier (Zariski) cerrado subconjunto $W$ de la meta, la inversa de la imagen $sp^{-1}(W)$ es admisible de abrir la rigidez de espacio $X^{an}$ (llamado el tubo abierto sobre W). De esta manera, los revestimientos de fibras especiales en un local cerrado subconjuntos dar cubiertas de la rígida genérico fibra admisible abre, y se puede utilizar Cech teoría con estas cubiertas y / o su favorito espectral de la secuencia para calcular la gavilla cohomology en el rígido de la analítica mundo. De nuevo el uso propio, por la rígida GAGA esta cohomology está de acuerdo con la costumbre (Zariski) cohomology en el esquema de $X$ (siempre que su gavilla es coherente gavilla de $\mathcal{O}_X$-módulos, por ejemplo).
Esta idea de la computación cohomology admisible el uso de cubiertas de los asociados rígido espacio es realmente importante, ya que permite el uso de la geometría de la fibra especial. Ocurre (permitiendo $\mathcal{X}$ tener semistable reducción) en el trabajo de Bruto en compañero de formas, de Coleman en $\mathcal{L}$-invariantes y de forma más destacada en Iovita-Coleman (ver su artículo sobre "Frobenius y Monodromy operadores"). Este último artículo puede ser un buen lugar para empezar.
Yo también recomiendo los artículos de Berthelot:
http://perso.univ-rennes1.fr/pierre.berthelot/publis/Cohomologie_Rigide_I.pdf
http://perso.univ-rennes1.fr/pierre.berthelot/publis/Finitude.pdf
También me gustaría sugerir la AWS 2007 notas por Brian Conrad para el aprendizaje acerca de la rígida geometría, que parece, en general, bastante pertinente a su situación.
Para etale cohomology de espacios rígidos, es posible que desee buscar en el artículo de Berkovich, aunque esto requeriría aprender acerca de su analítica de los espacios.
En cualquier caso, espero que esto sea un buen comienzo.
