¿Pueden representarse como matrices los mapas lineales entre espacios de dimensión infinita?

Question

Cualquier mapa lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita puede representarse como una matriz bajo las bases de los dos espacios.

Pero si uno o todos los espacios vectoriales son de dimensión infinita, ¿el mapa lineal se sigue representando como una matriz bajo sus bases?

Si existe una matriz de dimensión infinita, ¿para qué sirve si no se utiliza como representación de un mapa lineal entre espacios vectoriales?

Gracias y saludos.

Answer 1

Claro, si $T:V\to W$ es una transformación lineal entre espacios vectoriales $V$ y $W$ con bases $B$ y $C$ respectivamente, entonces $T$ puede describirse en términos de las coordenadas con respecto a estas bases, lo que da lugar a una "matriz". El grado de relación con la noción habitual de matriz depende de la naturaleza de $B$ y $C$ . En la noción habitual, se toman bases no sólo finitas, sino ordenadas, de modo que tenga sentido hablar de la 1ª fila, etc., de la matriz; es decir, se hacen todas las bases indexadas por conjuntos de la forma $\{1,2,\ldots,n\}$ . Lo más parecido a esto en el entorno de dimensión infinita sería tener bases indexadas por los enteros positivos.

En términos más generales, supongamos que $B=\{v_j\}_{j\in J}$ y $C=\{w_i\}_{i\in I}$ , donde $I$ y $J$ son conjuntos. Entonces la matriz de $T$ puede describirse como una función $M:I\times J\to F$ , donde $F$ es el campo base, tomando $M(i,j)$ para ser el coeficiente de $w_i$ en el $C$ -expansión de $Tv_j$ . Estas matrices son columna-finito en el sentido de que para cada $j\in J$ el conjunto de $i\in I$ tal que $M(i,j)\neq0$ es finita. A la inversa, cada matriz de columna finita, en este sentido, corresponde unívocamente a una transformación lineal entre $V$ y $W$ . La suma de coordenadas de estas matrices corresponde a la suma de las transformaciones lineales.

También puedes ampliar la multiplicación. Supongamos que $S:W\to X$ es una transformación lineal y que $X$ tiene base $D=\{x\_k\}\_{k\in K}$ . Sea $N:K\times I\to F$ denotan el $C$ - $D$ matriz de $S$ . Entonces $ST:V\to X$ tiene $B$ - $D$ matriz $NM:K\times J\to F$ definido por $$(NM)(k,j)=\sum_{i\in I}N(k,i)M(i,j).$$ En particular, nótese que esta suma es siempre finita porque $M$ es de columna finita.

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Motivado por la respuesta de Calle, decidí añadir un poco sobre un tipo diferente de matriz para transformaciones lineales continuas en espacios de Banach con bases de Schauder.

Si $X$ es un espacio de Banach separable de dimensión infinita, entonces una secuencia $(e_n)_{n=1}^\infty$ en $X$ se llama base de Schauder para $X$ si cada $x\in X$ tiene una representación única $x=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n$ El $a_n$ siendo escalar y la suma siendo convergente por norma. Si $X$ y $Y$ son espacios de Banach con bases de Schauder $(e_n)$ y $(f_n)$ respectivamente, y si $T:X\to Y$ es un operador lineal acotado, entonces $T$ puede describirse mediante una matriz $(a_{ij})_{i,j=1}^\infty$ con $a_{ij}$ siendo el coeficiente de $f_i$ en el $(f_n)$ expansión de $Te_j$ . El mapa de operadores acotados a matrices en uno a uno y preserva la estructura algebraica, pero típicamente no hay ninguna descripción agradable de qué matrices corresponden a operadores acotados.

Por ejemplo, en un espacio de Hilbert separable cualquier base ortonormal es una base de Schauder. Para los mapas entre espacios de Hilbert los coeficientes se encuentran como $a_{ij}=\langle Te_j,f_i\rangle$ . En $c_0$ el espacio de las secuencias que convergen a $0$ con norma sup, y en $\ell^p$ el espacio secuencial con norma $\|(x_n)_{n=1}^\infty\|_p=(\sum_{n=1}^\infty|x_n|^p)^{1/p}$ la secuencia $(e_n)$ de manera que el $n^\text{th}$ componente de $e_n$ es $1$ y todos los demás componentes son $0$ forma una base de Schauder.

Si $c$ es el espacio de las secuencias convergentes con norma sup, entonces ya no será una base de Schauder, y en particular está claro que $\sum_{n=1}^\infty x_n e_n$ no es convergente por norma a menos que $\lim_{n\to\infty}x_n=0$ . Una base de Schauder para $c$ se puede obtener añadiendo $e_0=(1,1,1,\ldots)$ . Si $(x_n)\in c$ y $x=\lim_n x_n$ entonces $(x_n)=xe_0 +\sum_{n=1}^\infty(x_n-x)e_n$ es la representación de la base. Como en la respuesta de Calle, supongamos que $T:c\to c$ se define por $T(x_1,x_2,x_3,\ldots)=(x,0,0,\ldots)$ . Entonces $T$ tiene una representación matricial con respecto a $(e_0,e_1,\ldots)$ (pero no con respecto a $(e_1,e_2,\ldots)$ ), a saber $a_{10}=1$ y todos los demás componentes son $0$ .

Al igual que la advertencia de Olod, estas matrices suelen desempeñar un papel marginal, incluso en los casos en los que se garantiza su existencia, como en el espacio de Hilbert. No todos los espacios de Banach separables tienen una base de Schauder. Enflo primero dio un ejemplo de un espacio de Banach separable sin el propiedad de aproximación , lo que garantiza que no tiene una base de Schauder.

Answer 2

Sin embargo, hay que entender que el papel de las matrices cuando se trabaja con operadores lineales de espacios vectoriales de dimensión infinita es un papel (muy) marginal. Las técnicas conocidas, como el uso de determinantes, trazas, etc., ya no funcionan. Por ejemplo, cualquier función de tipo determinante en $\mathrm{GL}(V)$ donde $V$ es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre un campo es necesariamente el trivial, ya que cualquier elemento de $\mathrm{GL}(V)$ es un producto de conmutadores (el grupo $\mathrm{GL}(V)$ es perfecto, en otras palabras; un resultado de Alex Rosenberg de 1958).