Mostrar que ese $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\binom{2n}{n}} = 4$

Question

Sé que

$$ \lim_{n\to\infty}{{2n}\, seleccione{n}}^\frac{1}{n} = 4 $$ pero no tengo Idea de cómo mostrar; creo que tiene algo que ver con la reducción de la ${n}!$ $n^n$en el límite, pero no sé cómo llegar allí. ¿Cómo podría yo demostrar que el límite es de cuatro?

Answer 1

Sugerencia: Por inducción, muestran que para $n\geq 2$ $$\frac{4^n}{n+1} < \binom{2n}{n} < 4^n.$$

Answer 2

El plazo ${2n\choose n}$ como se produce la más grande de las $2n+1$ positivo sumandos en la expansión de $(1+1)^{2n}$, lo que muestra directamente $\frac{4^n}{2n+1}\le {2n\choose n}\le 4^n$. A partir de esta afirmación de la siguiente manera por el uso de $\sqrt[n]n\to 1$.

Answer 3

Sugerencia: $$ \begin{align} \binom{2n}{n} &=\frac{2n(2n-1)}{n^2}\frac{(2n-2)(2n-3)}{(n-1)^2}\frac{(2n-4)(2n-5)}{(n-2)^2}\cdots\frac{4\cdot3}{2^2}\frac{2\cdot1}{1^2}\\ &=2^n\frac{2n-1}{n}\frac{2n-3}{n-1}\frac{2n-5}{n-2}\cdots\frac{3}{2}\frac{1}{1}\\ &=4^n\frac{n-1/2}{n}\frac{n-3/2}{n-1}\frac{n-5/2}{n-2}\cdots\frac{3/2}{2}\frac{1/2}{1}\tag{1}\\ &\ge4^n\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n-1}\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{1}{2}\cdot1/2\\ &=4^n\frac1{2n}\tag{2} \end{align} $$ $(1)$ $(2)$ muestran que $$ \frac1{2n}4^n\le\binom{2n}{n}\le4^n\etiqueta{3} $$

Answer 4

Usted podría utilizar la aproximación de Stirling:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{\sqrt{2n\pi}(n/e)^n}=1\;.$$

Entonces

$$\binom{2n}n=\frac{(2n)!}{n!^2}\approx\frac{\sqrt{4n\pi}(2n/e)^{2n}}{2n\pi(n/e)^{2n}}=\frac{4^n}{\sqrt{n\pi}}\;,$$

por lo $$\binom{2n}n^{1/n}\approx\frac4{(\pi n)^{1/n}}\;.$$

Voy a dejar de rellenar los datos para mostrar que el $\approx$ aquí puede ser sustituido por $\sim$, lo que significa que la relación tiende a $1$.