Significado intuitivo de la inmersión y la sumersión

Question

Qué es la inmersión y la sumersión a nivel intuitivo. ¿Qué se puede hacer visualmente en cada caso?

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que si $f : M \to N$ es una inmersión, entonces $\dim M \geq \dim N$ y si $f$ es una inmersión, $\dim M \leq \dim N$ .

El teorema del rango puede proporcionar una visión de estos conceptos. El siguiente enunciado del teorema está tomado de Lee's Introducción a los colectores suaves (segunda edición); véase el teorema $4.12$ .

Supongamos que $M$ y $N$ son variedades suaves de dimensiones $m$ y $n$ respectivamente, y $F : M \to N$ es un mapa suave con rango constante $r$ . Para cada $p \in M$ existen gráficos suaves $(U, \varphi)$ para $M$ centrado en $p$ y $(V, \psi)$ para $N$ centrado en $F(p)$ tal que $F(U) \subseteq V$ en el que $F$ tiene una representación de coordenadas de la forma $$\hat{F}(x^1, \dots, x^r, x^{r+1}, \dots, x^m) = (x^1, \dots, x^r, 0, \dots, 0).$$ En particular, si $F$ es una inmersión suave, esto se convierte en $$\hat{F}(x^1, \dots, x^n, x^{n+1}, \dots, x^m) = (x^1, \dots, x^n),$$ y si $F$ es una inmersión suave, es $$\hat{F}(x^1, \dots, x^m) = (x^1, \dots, x^m, 0, \dots, 0).$$

Así que una inmersión localmente parece una proyección $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^{m-n} \to \mathbb{R}^n$ mientras que una inmersión localmente parece una inclusión $\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^{n-m}$ .