En primer lugar, tenga en cuenta que si $f : M \to N$ es una inmersión, entonces $\dim M \geq \dim N$ y si $f$ es una inmersión, $\dim M \leq \dim N$ .
El teorema del rango puede proporcionar una visión de estos conceptos. El siguiente enunciado del teorema está tomado de Lee's Introducción a los colectores suaves (segunda edición); véase el teorema $4.12$ .
Supongamos que $M$ y $N$ son variedades suaves de dimensiones $m$ y $n$ respectivamente, y $F : M \to N$ es un mapa suave con rango constante $r$ . Para cada $p \in M$ existen gráficos suaves $(U, \varphi)$ para $M$ centrado en $p$ y $(V, \psi)$ para $N$ centrado en $F(p)$ tal que $F(U) \subseteq V$ en el que $F$ tiene una representación de coordenadas de la forma $$\hat{F}(x^1, \dots, x^r, x^{r+1}, \dots, x^m) = (x^1, \dots, x^r, 0, \dots, 0).$$ En particular, si $F$ es una inmersión suave, esto se convierte en $$\hat{F}(x^1, \dots, x^n, x^{n+1}, \dots, x^m) = (x^1, \dots, x^n),$$ y si $F$ es una inmersión suave, es $$\hat{F}(x^1, \dots, x^m) = (x^1, \dots, x^m, 0, \dots, 0).$$
Así que una inmersión localmente parece una proyección $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^{m-n} \to \mathbb{R}^n$ mientras que una inmersión localmente parece una inclusión $\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^{n-m}$ .
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Ambos localmente parecen estándar mapas $\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$
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Son condiciones sobre mapas inducidos de espacios tangentes... así que en una inmersión $X\rightarrow Y$ , $\dim X\leq\dim Y$ sólo estás permitiendo auto-intersecciones de $X$ dentro de $Y$ pero no se le permite "comprimir" ninguno de los archivos. $X$ de tal forma que el espacio tangente de un punto vaya a 0 (porque el mapa debe ser inyectivo en espacios tangentes). Para una inmersión, quieres que el mapa inducido sea suryectivo, así que intuitivamente estás "arrugando" $X$ para encajar en $Y$ de tal manera que golpee todas las curvas posibles en $Y$ con una curva en $X$ .
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