Límite convexo de una variedad simpléctica

Question

Dada una variedad simpléctica $(M,\omega)$ Supongamos que $\partial M$ es de tipo contacto. Un campo de Liouville en una variedad simpléctica es un campo vectorial $X$ tal que $\mathcal L_X \omega = \omega$ . Decimos que $\partial M$ es convexo si existe un campo de Liouville que apunta hacia el exterior cerca de $\partial M$ (normalmente no estará definido en todas partes). Decimos que $\partial M$ es cóncavo si existe un campo de Liouville que apunta hacia el interior. (Decimos que una hipersuperficie es de tipo de contacto si existe un campo vectorial de Liouville definido en una vecindad de la hipersuperficie que es transversal a la superficie).

Un ejercicio (3.60) de McDuff-Salamon dice que dos campos vectoriales de Liouville cualesquiera cerca de una hipersuperficie de tipo contacto deben apuntar en la misma dirección. No veo por qué esto es cierto y, además, parece que he encontrado un contraejemplo. Así que no me queda claro que la frontera de un colector simpléctico no pueda ser a la vez convexa y cóncava.

Considere $S^1$ incrustado en cualquier superficie simpléctica. Como este círculo es automáticamente lagrangiano, sabemos que una vecindad de él es simplectomorfa a una vecindad de la sección cero en $T^* S^1 \cong S^1 \times (-\varepsilon,\varepsilon)$ que tiene forma simpléctica $-dt\wedge d\theta$ . Dado un campo vectorial $X = a\frac{\partial}{\partial t} + b\frac{\partial}{\partial \theta}$ la condición de Liouville dice que $a$ nunca es cero en la sección cero, y que $\left(\frac{\partial a}{\partial t} + \frac{\partial b}{\partial \theta}\right) = 1$ .

Ahora escoge $X = (\pm 1 + t)\frac{\partial}{\partial t}$ . Se trata de dos campos vectoriales de Liouville diferentes que apuntan en direcciones opuestas.

¿He entendido mal la definición de límite convexo? ¿Puede el límite de una variedad simpléctica de mayor dimensión, cuyo límite tiene tipo de contacto, ser a la vez cóncavo y convexo, o esto es una casualidad de las variedades simplécticas de 2 dimensiones? Si no es así, ¿qué pasa con el ejercicio de McDuff-Salamon que dice que los campos de Liouville deben apuntar todos en la misma dirección?

Answer 1

Encontré lo siguiente en "Convex Symplectic Manifolds" de Eliashberg y Gromov; puedes encontrar este artículo en Several complex variables and complex geometry (Proceedings of symposia in pure mathematics ; v. 52, pt. 2). Lo he traducido a otra notación.

Dejemos que $S$ sea una hipersuperficie de tipo de contacto que delimita una variedad simpléctica $M$ . Nosotros decimos $S$ es convexo si existe un campo vectorial de Liouville cerca de $S$ que apunta hacia afuera, y cóncavo si hay uno que apunta hacia adentro.

El caso de una superficie con límite $S^1$ se da como - y, como en el caso anterior, es - un ejemplo de un límite que es a la vez convexo y cóncavo.

Ahora dejemos que $\alpha$ sea una estructura de contacto compatible en $S$ - es decir, que $d\alpha = \omega$ restringido a $S$ . Llame al campo Reeb para este formulario de contacto $\delta$ . Gromov dice que si $G$ es una órbita de Reeb cerrada nula para $\alpha$ entonces $\int_G \alpha' > 0$ para todo formularios de contacto compatibles $\alpha'$ . Esto implica que $S$ no puede ser simultáneamente convexo y cóncavo. (A partir de los campos de Liouville que apuntan en direcciones opuestas, podemos producir formas de contacto, compatibles con $\omega$ que son homológicamente negativos entre sí).

En particular, considere $S^3$ como el límite de su colector simpléctico favorito con límite $S^3$ . Entonces no puede ser tanto convexa como cóncava. Además, existe una estructura de contacto simpléticamente rellenable en $T^3$ sin órbitas de Reeb nulas; por lo que esto no supone un obstáculo para ser tanto convexo como cóncavo. De hecho, es ambas cosas con respecto a un cierto relleno simpléctico. (Obsérvese que toda 3manifolda cerrada con una forma de contacto dada tiene una órbita de Reeb cerrada; esto fue demostrado por Taubes en 2007, y es un caso especial de la conjetura de Weinstein).

Por ello, no entiendo el ejercicio de McDuff y Salamon. Si lo interpreto como "Dada una hipersuperficie de tipo contacto (sin una orientación elegida), todo campo vectorial transversal de Liouville cerca de esta hipersuperficie apunta en la misma dirección", es falso. Si ya le he dado una orientación, no veo cómo la pregunta no es trivial.