El siguiente resultado se puede encontrar en la mayoría de las introducciones a la teoría de los números.
Teorema : Dejemos que $x$ y $n$ sean números enteros mayores que $1$ . Si $x^n-1$ es primo, entonces $x=2$ y $n$ es primo.
Prueba : Tenga en cuenta que $x-1$ divide $x^n-1$ , para $$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+ \cdots + 1).$$ Si $x>2$ y $n>1$ cada uno de los factores anteriores de $x^n-1$ es $>1$ . De ello se desprende que si $x>2$ y $n>1$ entonces $x^n-1$ no puede ser primo. Así que si $x^n-1$ es primo, entonces $x=2$ .
A continuación demostramos que si $2^n-1$ es primo, entonces $n$ debe ser primo. Pues supongamos lo contrario, que $n=ab$ donde $a$ y $b$ son mayores que $1$ . Entonces $$2^n-1=2^{ab}-1=(2^a)^b-1.$$ Dejemos que $y=2^a$ . Entonces $2^n-1=y^b-1$ . Pero $y-1$ divide $y^b-1$ . Así, $2^a-1$ divide $2^n-1$ . Es fácil ver que de hecho $2^a-1$ es un adecuado divisor de $2^n-1$ Así que $2^n-1$ no puede ser primo.
Con esto concluye la prueba. Calculando, podemos verificar que $2^n-1$ es primordial para $n=2$ , $3$ , $5$ y $7$ . Pero no hay que sacar conclusiones precipitadas. Cuando $n=11$ , $2^n-1$ no es primo, pues $23$ divide $2^{11}$ .
Primas de la forma $2^n-1$ (donde $n$ es necesariamente primo) se llaman Primas de Mersenne.
Desde los tiempos de Euclides, los primos de Mersenne han suscitado interés por su relación con el par números perfectos. A pesar de una búsqueda que abarca milenios, sólo $47$ Actualmente se conocen los primos de Mersenne. El actual poseedor del récord es $2^{43,112,609}-1$ . De la evidencia computacional, parece que para la "mayoría" de los primos $p$ el número $2^p-1$ no es primo. No se sabe si hay infinitos primos de Mersenne.
