Deje $G$ ser un grupo finito tal que para todos los $x\neq e$,
$$C_G(x)=\langle x\rangle$$
Existe una clasificación de estos grupos ?
Respuestas
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Sí, estos son los grupos cíclicos de orden $p$ y la no-abelian grupos de orden $pq$.
De reducción de 1: Estos grupos no tienen elementos de primer cuadrado de la orden, para que los elementos de primer orden tienen mayor centralizadores.
Reducción 2: El Sylow p-subgrupos cíclicos, no sea que (para p impar) tienen un abelian subgrupo de orden $p^2$, o (para p=2) el tener una central de involución que no es la totalidad de Sylow.
La combinación de estos dos resultados, se obtiene la sylows son todos de primer orden, por lo que tenemos un grupo llamado cuadrado-libre.
Estos grupos se clasifican por Zassenhaus, y una buena descripción es en el Hall de la Teoría de Grupos. Todos ellos son metacíclicos. Sin embargo, este grupo no tiene subgrupos cíclicos de orden compuesto, así que los dos cíclico de grupos tanto de primer orden.
Por lo tanto, el grupo tiene orden de $pq$. Obviamente el abelian uno no funciona.
Limpiador de versión: Vamos a $G$ ser un grupo. Si $A \leq G$ es abelian, a continuación, $A \leq C_G(x)$ por cada $x \in A$. Por lo tanto $A$ debe ser el grupo cíclico generado por todas las de su no-identidad de los elementos. Deje $P$ ser un Sylow $p$-subgrupo, y deje $z \in Z(P)$. Desde $P \leq C_G(z)$, debemos tener $P=\langle z \rangle$ es abelian, por lo $P$ es generado por todos los de su no-identidad de los elementos. Por lo tanto todos los Sylow $p$-subgrupo de $G$ ha pedido en la mayoría de los $p$, lo $|G|$ es una plaza libre de número. Por Zassenhaus (Hall de la Teoría de Grupos Teorema de 9.4.3 en la página 146), $G$ ha cíclico subgrupos $H,K$ $K=[G,G]$ tal que $G=HK$. De nuevo $H,K$ debe ser generado por su falta de elementos de identidad, por lo que (si no la identidad) debe tener distintas primer órdenes. Esto da que o $G=H$ es cíclico de primer orden, o $G=H\ltimes [G,G]$ es un no-grupo abelian de orden $pq$ para distintos números primos $p<q$. Se verifica que todos los grupos en el hecho de satisfacer las $C_G(x)=\langle x \rangle$ conclusión.
Generalizaciones: Si sólo se requiere que los elementos de orden $p$ no centralizar los elementos de orden $q$, entonces uno tiene los grupos con "discretos primer gráfico" (primer gráficos son estudiados por nuestros usuarios Alejandro Gruber) y clasificados en Higman (1957). Si una vez requiere que los elementos en ciertas abelian subgrupos sólo son centralizados por los abelian subgrupos, entonces uno tiene la CA grupos clasificados en Suzuki (1957) y Brauer–Suzuki–Pared (1958).
- Higman, Graham. "Grupos finitos en el que cada elemento tiene la primera energía de la orden." J. Londres Matemáticas. Soc. 32 (1957), 335-342. MR89205
- Suzuki, Michio. "La inexistencia de un cierto tipo de simples grupos de orden impar." Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 8 (1957), 686-695. MR86818
- Brauer, R.; Suzuki, Michio; Wall, G. E. "Una caracterización de la uno-dimensional unimodular proyectiva grupos sobre campos finitos." Illinois J. Math. 2 (1958) 718-745. MR104734
FuzzyQ
Puntos
200
Misma idea básica como en la respuesta de Jack.
Primero de todo, es inmediato que cada elemento no trivial de $G$ debe disponer de primer orden. Además, $p^2$ no divide al orden de $G$ para cualquier prime $p$, ya que de lo contrario, un elemento de orden $p$ estaría contenida en un subgrupo de orden $p^2$ (que es abelian).
Por lo tanto $G$ ha squarefree orden. Es un hecho básico acerca de los grupos de squarefree el fin de que $G$ normal $p$-Sylow $P$ donde $p$ es el más grande de la primer división $|G|$ (podría probar esto con Burnside del complemento normal teorema). A continuación, $\operatorname{Aut}(P)$ es abelian, por lo $N_G(P)/C_G(P) = G/P$ es abelian. Desde $|G|$ es squarefree, $G/P$ es cíclico. Debido a que cada elemento no trivial de $G$ primer orden, esto es cierto para $G/P$. Por lo tanto cualquiera de las $G/P$ es trivial o ha de primer orden.
Se deduce entonces que, o bien $G$ primer orden, o es nonabelian de orden $pq$ para distintos números primos $p$$q$.
