Demostrar que si $2^n - 1$ es primo, entonces $n$ es primordial para $n$ siendo un número natural

Question

Demostrar que si $2^n - 1$ es primo, entonces $n$ es primordial para $n$ siendo un número natural

He mirado http://math.stackexchange.com/a/19998

Se sabe que $2^n-1$ sólo puede ser primo si $n$ es primo. Esto se debe a que si $jk=n$ , $2^n-1=\sum_{i=0}^{n-1}2^i=\sum_{i=0}^{j-1} 2^i \sum_{i=0}^{k-1} 2^{ij}$ Así que sólo seguirán alternando en primos gemelos. En particular, $2^{6k+2}-1, 2^{6k+3}-1$ y $2^{6k+4}-1$ serán todos compuestos

Lo que no entiendo es cómo puedo conseguir:

$$\sum_{i=0}^{n-1}2^i=\sum_{i=0}^{j-1} 2^i \sum_{i=0}^{k-1} 2^{ij}$$

Si estoy viendo la respuesta equivocada, ¿cómo puedo probar lo anterior?

---

Por otra parte, ¿tal vez estoy mirando lo que no es?

En particular, $2^{6k+2}-1, 2^{6k+3}-1$ y $2^{6k+4}-1$ serán todos compuestos

Esto no dice por qué $2^{6k+2}-1$ ¿es compuesto?

Answer 1

Si $2^n-1$ es primo, entonces $n$ no puede ser $1$ . Demostramos que $n$ no puede ser compuesto.

Supongamos por el contrario que $n=ab$ , donde $a$ y $b$ son mayores que $1$ . Entonces $$2^n-1=2^{ab}-1=(2^a)^b-1.$$

Dejemos que $x=2^a$ . Entonces $2^n-1=x^b-1$ .

Pero $$x^b-1=(x-1)(x^{b-1}+x^{b-2}+\cdots +x+1.\tag{$ 1 $})$$ Para verlo, basta con multiplicar: casi todo se anula.

Ahora $x=2^a \ge 4$ Así que $x-1\gt 1$ . Es fácil ver que $x^{b-1}+x^{b-2}+\cdots +x+1\gt 1$ . Se deduce de $(1)$ que $x^b-1$ Es decir, $2^n-1$ es el producto de dos números que son $\gt 1$ . Esto contradice el hecho de que $2^n-1$ es primo.

Answer 2

Considere lo que $2^n-1$ se ve cuando se escribe en base 2: $$ \underbrace{111\cdots\cdots\cdots\cdots1}_{n} $$ Si $n$ es no un primo, digamos $n=ab$ entonces $2^n-1$ es claramente el producto de $$ \underbrace{111\cdots1}_{a} $$ con $$ 1\underbrace{\underbrace{00\cdots 0}_{a-1}1 \underbrace{00\cdots 0}_{a-1}1\cdots1 \underbrace{00\cdots 0}_{a-1} }_{b-1}1 $$

Answer 3

Si se trabaja a través de las sumas, todos los términos de la izquierda se corresponden con un término de la derecha. La primera comprobación es que tienes el número correcto. Hay $n$ términos a la izquierda y $jk$ a la derecha. Ya que la suma de la derecha está dentro de la suma de la izquierda, $i$ es fijo, por lo que tiene $2^{i(k-1)}$ a $2^{ik-1}$ y el siguiente plazo se retoma en $2^{ik}$ . Mi punto en lo último que citas viene del hecho de que $6k+2, 6k+3, \text{and} 6k+4$ son todos compuestos, así que estos también lo serán.