Demostrando $\{P(a)\}$ (donde $a$ es trascendental) es denso

Question

Así que, he leído este problema, y se me fastidiaron desde:

Deje $a \in (1,2)$ ser un número trascendental

1) Vamos a $Y = \{ P(a) : P \in \mathbb{Z}[X] \}$, muestre que S es denso en $\mathbb{R}$.

2) Deje $X = \{ P(a) : P \in \mathbb{Z}[X], P \text{ has coefficients in } \{0,1,-1\}\}$, mostrar que X es denso en $\mathbb{R}$.

He sido capaz de demostrar 1), mostrando que el $Y$ es un no-cíclico de los subgrupos de $\mathbb{R}$ y por lo tanto es más densa (un conocido resultado de que puedo probar demasiado).

2) había una pista que se adjunta:

Sugerencia: Empezar por demostrar que $0$ es en el cierre de $X \backslash \{0\}$

Tuve la oportunidad de probar este también:

• Tomé $Z = \{ \sum_{k=0}^{n-1} b_k a^k / \forall k, b_k \in \{0, 1\} \}$.
• Tenemos $\forall z \in Z, 0 \leq z \leq \frac{a^n - 1}{a-1} < \frac{a^n}{a-1}$.
• $Z$ $2^n$ elementos, así que si cortamos $[ 0, \frac{a^n}{a-1} )$ $2^n - 1$ intervalos de $I_k = [ \frac{(a/2)^n}{a-1} \times k, \frac{(a/2)^n}{a-1} \times (k+1) )$, entonces no es un $k$ tal que $I_k \cap Z = \{z_1, z_2\}$$z_1 \neq z_2$.
• Por lo tanto, $| z_1 - z_2 | \in X \cap [0, \frac{(a/2)^n}{a-1})$. Desde $0 < a < 2$, $(\frac{a}{2})^n \rightarrow 0$ y tenemos que X es denso en torno a 0.

Pero ahora estoy atascado. He pensado en probar a la aproximación de cualquier real por un elemento de la forma $a^n \varepsilon$ $\varepsilon \in X$ cerca de 0, pero no funciona. ¿Tienes alguna sugerencias?

Edit: no Es la tarea, es en la preparación de un próximo examen oral.

Answer 1

Para cada $n$ usted puede encontrar una infinita secuencia $x_1,x_2,\dots\in X$ tal que $2^{-(n+1)}<x_i<2^{-n}$ (por cada $i$) y tales que, para cada $k$, $\pm (x_1+ x_2+\dots+ x_k)$ es todavía en $X$. La secuencia puede ser encontrado de forma inductiva: si usted ha $x_1,\dots,x_k$, elija una $0<P(a)\in X$ lo suficientemente pequeña y set de $x_{k+1}=a^pP(a)$, $p$ tal que $2^{-(n+1)}<x_{k+1}<2^{-n}$. Usted necesita elegir a $P(a)$ tan pequeño que no $a^q$, $q\geq p$, está presente en cualquiera de $x_i$, $i\leq k$ (cada $x_i$ es un polinomio en a $a$). Tal $P(a)\in X$ existe $0$ es en el cierre de $X\backslash\{0\}$.

Como consecuencia de ello, se puede aproximar cualquier número real por un elemento de a $X$ error $<2^{-n}$ (con un adecuado $\pm (x_1+ x_2+\dots+ x_k)\in X$). Por lo tanto $X$ es densa.

(debe de ser una simple prueba)

Answer 2

La respuesta es errónea. Voy a tratar de encontrar una buena solución. :)

Para la segunda parte, es fácil ver que $x\neq y \in X\setminus\{0\} \Rightarrow \frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2} \in X$. Ahora, todo lo que necesita es demostrar que no son arbitrariamente grandes y pequeños elementos en $X$, y usted puede hacer esto mediante la selección de los polinomios $P=X^n,\ P=-X^n,\ n \geq 1$.

La idea es que si usted tiene un conjunto $A$ que contiene dos elementos $a<b$ y tiene la propiedad de que la $x,y \in A \Rightarrow \frac{x+y}{2} \in A$, entonces usted puede construir una densa subconjunto del intervalo de $(a,b)$, que está contenida en $A$ escogiendo en cada paso el punto medio del intervalo formado por dos elementos conocidos de $(a,b)$(que sabemos que es en $A$).