Caracterización de funciones reales que han límite en cada punto de

Question

El siguiente problema es el Ejercicio 7.K a partir de la libreta de van Rooij-Schikhof: Un Segundo Curso sobre Funciones Reales y está muy cerca de una cuestión que ha sido abordada recientemente en el chat.

Así que pensé que compartir este interesante problema con otros MSE de los usuarios podría ser útil. Aquí está el problema:

Deje $L$ ser el conjunto de todas las funciones de $f\colon [0,1]\to\mathbb R$ que tienen la propiedad de que $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ existe para todas las $a \in [0, 1]$. Demostrar que:
(i) $L$ es un espacio vectorial. Cada una de las $f \in L$ está acotada.
(ii) Para cada una de las $f \in L$, definir $f^c(x): = \lim\limits_{y\to x} f(y)$ ($x \in [0, 1]$). $f^c$ es continua.
(iii) '$f^c =0$' es equivalente a 'no existe $x_1, x_2, \dots$ $[0,1]$ $a_1, a_2,\dots$ $U$ con $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0$, de tal manera que $f(x_n) = a_n$ por cada $n$, e $f=0$ a otra parte'.
(iv) Describir la forma general de un elemento de $L$. Muestran que todos los $f\in L$ es Riemann integrable.

La pregunta original en la charla fue acerca de las funciones de $\mathbb R\to\mathbb R$, pero no cambia mucho en las piezas (iii) y (iv).

Answer 1

Voy a publicar mi solución, también.

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(i) es obvio que $L$ es un espacio vectorial.

Si queremos corregir algunos $\varepsilon>0$ entonces tenemos para cada una de las $a\in[0,1]$ abierto vecindario $U_a$ tal que $\operatorname{diam} U_a<\varepsilon$. Los conjuntos de $U_a$ forma de una apertura de la tapa del conjunto compacto $[0,1]$, por lo que tenemos un número finito de subcover. Por lo tanto, el rango de $f$ está cubierto por un número finito de conjuntos acotados y se limita a sí mismo.

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(ii) Vamos a tratar de mostrar la continuidad de la función $f^c$ definido por $f^c(x)=\lim\limits_{y\to x} f(y)$.

Supongamos que $f^c$ no es continua en algún punto de $a$. Nos deja denotar $b:=f^c(a)$. Entonces existe una secuencia $x_n$ tal que $x_n\to a$, $x_n\ne a$ y $f^c(x_n)$ no converge a $b$.

Por definición de $f^c$ podemos encontrar para cada una de las $x_n$ un punto de $y_n$ tal que $|y_n-x_n|<1/2^n$$|f(y_n)-g(x_n)|<1/2^n$. Podemos suponer que, en adición a esto, $y_n\ne a$.

Para tal secuencia $y_n\to a$$f(y_n)\not\to b=f^c(a)$, lo que contradice la definición de $f^c$.

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(iii) queremos mostrar $f^c=0$ $\Leftrightarrow$ $f$ tiene la forma descrita en la parte (iii).

La implicación $\boxed{\Leftarrow}$ es fácil: Tenemos $f^c(x)=\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)$ para cualquier secuencia $x_n\to x$, $x_n\ne x$. Si elegimos cualquier $\varepsilon$, hay sólo un número finito $n$'s tal que $|f(x_n)|>\varepsilon$. Esto implica que el límite debe ser cero.

$\boxed{\Rightarrow}$ Si es suficiente para mostrar que el conjunto de $M_\varepsilon:=\{x\in\mathbb R; |f(x)|>\varepsilon\}$ es finito para cada una de las $\varepsilon>0$. (Una vez que hemos demostrado que esto, podemos llegar a todos los no-cero puntos como el de la unión de $\bigcup\limits_{n=1}^\infty M_{1/n}$, por lo que sólo hay countably muchos de ellos. Y ellos también pueden ser ordenados en la forma indicada.)

Supongamos que para algunos $\varepsilon>0$ el conjunto $M_\varepsilon:=\{x\in\mathbb R; |f(x)|>\varepsilon\}$ es infinito. Luego de este conjunto tiene un punto de acumulación $a\in[0,1]$. Tenemos $|f_c(a)|\ge\varepsilon$, contradiciendo la suposición de que $f^c$ es cero.

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(iv) Ahora vamos a $f$ ser una función arbitraria de $L$.

Es relativamente fácil ver que, si denotamos $g:=f-f^c$, $g^c$ es idéntica a cero. (I. e., $\lim\limits_{x\to a} g(x)=0$ por cada $a\in[0,1]$.) Tenga en cuenta que $f=f^c+g$.

Así tenemos que cada función de $L$ es una suma de una función continua y la función que tiene la forma descrita en la parte (iii) de este ejercicio.

Ahora para demostrar que $f$ es Riemann integrable podríamos utilizar Lebesgue del criterio de integrabilidad de Riemann y el hecho de que cada contables conjunto tiene medida de Lebesgue cero.

Pero esto también puede ser mostrado directamente de la definición: una $\varepsilon>0$ tenemos sólo un número finito de puntos tales que $|f(x)|\ge\varepsilon$. Si queremos cubrir con ellas lo suficientemente pequeños intervalos, vamos a conseguir que la suma de Riemann sobre estos intervalos es en valor absoluto en la mayoría de los $\varepsilon$. Para cualquier partición que contiene los pequeños intervalos, el valor absoluto de la suma de Riemann sobre el resto de los intervalos en la mayoría de las $\varepsilon$. Así que tenemos $|R(f,\Delta)|\le 2\varepsilon$ cuando la norma de la partición elegida es lo suficientemente pequeño como para asegurarse de que los intervalos en torno a la "excepcional" de puntos (los puntos con $|f(x)|\ge\varepsilon$) son bastante pequeñas.

Answer 2

$\def\dts{\mathinner{\ldotp\ldotp}}$ En primer lugar, extendemos el dominio $[0\dts1]$ a $\Bbb R$, dicen, $f(x_0)=\lim_{x\to0^+}f(x)$ siempre $x_0<0$, e $f(x_0)=\lim_{x\to1^-}f(x)$ siempre $x_0>1$, por lo tanto podemos concluir que el $\lim_{x\to a}f(x)$ existe para cada número real $a$. Igual que la notación en (ii), y para facilitar, vamos a $g(x)=\lim_{y\to x}f(x)$, lo $f^c(x)=g(x)$ en el intervalo de $[0\dts1]$.

Luego, podemos decir que el $f$ está acotada.

Por definición de límite de la función, no existe $\delta_\epsilon(a)>0$ tal que $|f(x)-g(a)|<\epsilon$ siempre $0<|x-a|<\delta_\epsilon(a)$, por lo $|f(x)|\le\max(|f(a)|,|g(a)|+\epsilon)=M_\epsilon(a)$ siempre $|x-a|<\delta_\epsilon(a)$.

Suponiendo que $\epsilon$ fijo es un número real positivo, decir $1$, y deje $\Sigma$ es el conjunto de abrir los intervalos de $I(x)=(x-\delta_\epsilon(x)\dts x+\delta_\epsilon(x))$ donde $0\le x\le1$. Tenemos $\Sigma_\epsilon$ cubre el conjunto cerrado $[0\dts1]$, por lo tanto existe subconjunto finito de $\Sigma_\epsilon$, decir $\Sigma_\epsilon^*$, que cubre el conjunto cerrado $[0\dts1]$, y deje $\Sigma_\epsilon^*=\{I_\epsilon(a_1),\ldots,I_\epsilon(a_m)\}$, $|f(x)|\le M_\epsilon(a_k)$ en el intervalo abierto $I_\epsilon(a_k)$, lo $f$ está acotada.

Ahora, vamos a probar que $g$ es continua. Para todos los $\epsilon>0$, $|f(x)-g(x_0)|<\epsilon$ donde $x$ es un punto arbitrario en el intervalo abierto $I_\epsilon(x_0)$. Deje $y\in I_\epsilon(x_0)$, y deje $x$ tiende a $y$, pero no es igual a $y$,$f(x)\to g(y)$, por lo $|g(y)-g(x_0)|\le\epsilon$, por lo tanto $g$ es continua.

Entonces, suponiendo que se $f^c(x)=0$ en el intervalo de $[0\dts1]$, $g(x)=0$ para cualquier número real $x$. Para todos los $\epsilon>0$, debemos recordar que hay un correspondiente finito cubierta $\Sigma_\epsilon^*$ de conjunto cerrado $[0\dts1]$, e $\Sigma_\epsilon^*=\{I_\epsilon(a_1),\ldots,I_\epsilon(a_m)\}$. Ahora vamos a analizar este resultado de cerca. Para $x\in I_\epsilon(a_k)$, e $x\neq a_k$,$|f(x)|=|f(x)-g(a_k)|<\epsilon$, lo $|f(x)|\ge\epsilon\,\Longrightarrow\,x=a_k\textrm{ for some }k$. Por lo tanto, podemos ordenar todos los $x$ tal que $f(x)\neq0$ en orden decreciente de $|f(x)|$, y ordenarlas en una secuencia.

Finalmente, se debe demostrar que, si podemos organizar todos los no-cero puntos en el intervalo $[0\dts1]$ en una secuencia $S$ tal forma que el valor converge a$0$,$f^c=0$. Para cualquier punto de $y$ $[0\dts1]$ y arbitraria número real positivo $\epsilon$, sólo hay finity muchos puntos en $S$ cuyo valor absoluto $\ge\epsilon$, lo $f(x)<\epsilon$ mantiene en un barrio de $y$ (si $y=0,1$, es una cara de barrio), por lo $f^c(y)=0$.