Es allí una manera elegante para evaluar $ I={ \int \sqrt[8]{\frac{x+1}{x}} \ \mathrm{d}x}$?

Question

Es allí una manera elegante para evaluar la siguiente integral?

$$ I={ \int \sqrt[8]{\dfrac{x+1}{x}} \ \mathrm{d}x}$$

A mí esto me parece una muy larga la pregunta, sin embargo, fue dado en mi semanal de la hoja de cálculo, por lo que debe haber una solución elegante.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Acaba de renovar @H. R. la solución a mano. En primer lugar la configuración de $$t=\frac{x+1}x\ge0$$ fue sin duda un buen paso. La solución para $x$, $$x=\frac1{t-1}$$ Tenga en cuenta que esto implica que los $0\le t<1$ o $t>1$, una propiedad que se utilizará posteriormente para simplificar el resultado. Entonces $$\int\sqrt[8]{\frac{x+1}x}dx=-\int\frac{t^{1/8}}{(t-1)^2}dt=-8\int\frac{u^8}{(u^8-1)^2}du$$ Donde tenemos que dejar a $t=u^8$, como @H. R. Además, se observa que la
$$\frac d{du}\left(\frac u{u^8-1}\right)=\frac{-7u^8-1}{(u^8-1)^2}$$ Así que $$\int\sqrt[8]{\frac{x+1}x}dx=\int\left[\frac d{du}\left(\frac u{u^8-1}\right)-\frac1{u^8-1}\right]du=\frac u{u^8-1}-\int\frac{du}{u^8-1}=\frac u{u^8-1}-J$$ Luego fracciones parciales es fácil: $$\frac1{u^8-1}=\frac1{\prod_{k=0}^7(u-\omega_k)}=\sum_{k=0}^7\frac{A_k}{u-\omega_k}$$ Donde$\omega_k=e^{i\theta_k}=\cos\theta_k+i\sin\theta_k$$\theta_k=\frac{\pi k}4$. La evaluación de $$\lim_{u\rightarrow\omega_k}\frac{u-\omega_k}{u^8-1}=\lim_{u\rightarrow\omega_k}\frac1{8u^7}=\frac1{8\omega_k^7}=\frac{\omega_k}8=\lim_{u\rightarrow\omega_k}\sum_{j=0}^7A_j\frac{u-\omega_k}{u-\omega_j}=\sum_{j=0}^7A_j\delta_{jk}=A_k$$ Así $$\begin{align}J&=\frac18\sum_{k=0}^7\int\frac{\omega_k}{u-\omega_k}du=\frac18\int\left[\frac1{u-1}-\frac1{u+1}+\sum_{k=1}^3\frac{2u\cos\theta_k-2}{u^2-2u\cos\theta_k+1}\right]du\\ &=\frac18\int\left[\frac1{u-1}-\frac1{u+1}+2\sum_{k=1}^3\frac{(u-\cos\theta_k)\cos\theta_k-\sin^2\theta_k}{(u-\cos\theta_k)^2+\sin^2\theta_k}\right]du\\ &=\frac18\left[\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right|+\sum_{k=1}^3\left(\cos\theta_k\ln\left(u^2-2u\cos\theta_k+1\right)-2\sin\theta_k\tan^{-1}\left(\frac{u-\cos\theta_k}{\sin\theta_k}\right)\right)\right]+C\end{align}$$ Podemos aplicar los valores $\cos\theta_1=-\cos\theta_3=\sin\theta_1=\sin\theta_3=\frac1{\sqrt2}$, $\cos\theta_2=0$, y $\sin\theta_2=0$, para llegar a $$\begin{align}J&=\frac18\left[\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right|+\frac1{\sqrt2}\ln\left(\frac{u^2-\sqrt2u+1}{u^2+\sqrt2u+1}\right)\right.\\ &\left.-\sqrt2\tan^{-1}\left(\sqrt2u-1\right)-\sqrt2\tan^{-1}\left(\sqrt2u+1\right)-2\tan^{-1}u\right]+C\end{align}$$ Ahora podemos añadir dos de los arctangents porque $u$ no puede asumir los valores que hacen que el nuevo denominador $0$ ni cambiar el signo del numerador cuando el denominador es negativo: $$\begin{align}J&=\frac18\left[\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right|+\frac1{\sqrt2}\ln\left(\frac{u^2-\sqrt2u+1}{u^2+\sqrt2u+1}\right)-\sqrt2\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt2u}{1-u^2}\right)-2\tan^{-1}u\right]+C\end{align}$$ Ahora tenemos la solución

$$\begin{align}\int\sqrt[8]{\frac{x+1}x}dx&=\frac{\sqrt[8]{\frac{x+1}x}}{\frac{x+1}x-1}-\frac18\left[\ln\left|\frac{\sqrt[8]{\frac{x+1}x}-1}{\sqrt[8]{\frac{x+1}x}+1}\right|+\frac1{\sqrt2}\ln\left(\frac{\sqrt[4]{\frac{x+1}x}-\sqrt2\sqrt[8]{\frac{x+1}x}+1}{\sqrt[4]{\frac{x+1}x}+\sqrt2\sqrt[8]{\frac{x+1}x}+1}\right)\right.\\ &\left.-\sqrt2\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt2\sqrt[8]{\frac{x+1}x}}{1-\sqrt[4]{\frac{x+1}x}}\right)-2\tan^{-1}\sqrt[8]{\frac{x+1}x}\right]+C\end{align}$$

Que coincide con la solución de Mathematica.

Answer 2

He Mathematica 10.4 y lo que devuelve la función primitiva es demasiado largo! La parte superior de mi cabeza, no creo que haya otro camino, pero la estrategia para obtener la respuesta final no es muy complicado.! :) Acabo de explicar la ruta de acceso que usted puede ir para obtener este resultado.

En primer lugar, hemos establecido

$$\begin{align} t &= \frac{x+1}{x} \\ dx &= \frac{1}{(t-1)^2} dt \end{align}$$

y la integral se convertirá en

$$I=-\int \frac{\sqrt[8]{t}}{(t-1)^2} dt $$

y, a continuación, configuración de

$$\begin{align} t &= u^8 \\ dt &= 8u^7du \end{align}$$

llevará a

$$I=-8\int \frac{u^8}{(u^8-1)^2} du$$

y a partir de aquí, usted debe utilizar parcial de la fracción para llegar a lo que Mathematica da!

Answer 3

A través de la sustitución de $1+\frac{1}{x}=u$, seguido por $u=v^8$, obtenemos:

$$ \int \sqrt[8]{1+\frac{1}{x}}\,dx = \int\frac{u^{1/8}}{(1-u)^2}\,du =\int\frac{8v^8\,dv}{(1-v^8)^2}$$ y la última integral puede ser calculada a través de la fracción parcial de la descomposición (obviamente, el octavo raíces de la unidad).