¿Podemos pensar en un adjetivo como una equivalencia homotópica de las categorías?

Question

Hay una manera en el que podemos pensar en una transformación natural $ \eta : F \rightarrow G$ como una homotropía entre los functores $F, G:\mathcal {C} \rightarrow \mathcal {D}$ . Ahora, un adjetivo $F \dashv G$ da lugar a "homotopias" $ \epsilon :FG \rightarrow 1_{ \mathcal {C}}$ y $ \eta :1_{ \mathcal {D}} \rightarrow GF$ es decir, el condado y la unidad. Si tomamos prestado de nuevo el lenguaje de la topología, se podría decir que la existencia de un adjetivo implica que las dos categorías $ \mathcal {C}$ y $ \mathcal {D}$ tienen el mismo "tipo de homotropía".

¿Es esta una imagen útil para tener en cuenta cuando se trata de adjetivos? ¿Es bien conocido?

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Sí. Un adjetivo entre dos categorías da lugar a una equivalencia de homotropía entre sus nervios .

También observe que si $I = \{ 0 \to 1 \}$ denota la categoría de intervalo, entonces una transformación natural entre dos functores es precisamente un functor $C \times I \to D$ . Así que las transformaciones naturales son como las homotopias entre funciones en este sentido, excepto que están "dirigidas" de una manera que las homotopias no lo están. Esta idea da lugar a la teoría de la homotopía dirigida .