¿Puede $G≅H$ y $G≇H$ en dos diferentes puntos de vista?

Question

Puede $G≅H$ y $G≇H$ en dos diferentes puntos de vista?

Tenemos dos grupos isomorfos $G$ y $H$, entonces $G≅H$ como grupos y supongamos que actúan sobre un mismo conjunto finito, digamos $\Omega$. Podemos ver $G≇H$ como permutación de grupos. Honestamente, estoy interesado en este punto en el siguiente enlace. Es iniciado por:

Aviso que los diferentes grupos de permutación bien puede ser isomorfo como ....

(http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_group#Isomorphisms)

Answer 1

La definición de "isomorfo como grupos de la permutación" en la página de wikipedia a que se hace referencia es equivalente a las imágenes de $G$ y $ $H en sus acciones en $\Omega$ ser conjugado en el grupo simétrico en $\Omega$.

Debe ser capaz de pensar ejemplos de subgrupos $G$ y $ $H $S_n $ para algún $n$ que $G$ y $ $H son isomorfo como grupos, pero no conjugada en $S_n$. Trate de grupos de orden 2 en $ $S_4, por ejemplo.

Answer 2

Deje de $G$ y $H$ es fielmente en un conjunto finito de $\Omega$. Esto es equivalente a decir que $G$ y $H$ son subgrupos del total de la permutación grupo $\mathfrak S_\Omega$.

Aquí hay dos noción de isomorfismo que son más fuertes que un simple grupo de isomorfismo :

1. La acción de $G$ y $H$ son isomorfos si existe un grupo de morfismos $\phi : G \H$ y un bijection $\sigma : \Omega \a \Omega$ tal que para todo $g\in G$ y $x\in \Omega$ $$ g\cdot \sigma x = \sigma(\phi g \cdot x). $$ En particular, los morfismos $\phi$ es un isomorfismo, porque si $\phi g = 1$ para todo $x\in\Omega$ $g\cdot \sigma x = \sigma$ x, y dado que la acción de $G$ es fiel y $\sigma$ surjective, esto implica que $g = 1$.

2. $G$ y $H$ se dice que ser conjugado en $\mathfrak S_\Omega$ es existe una permutación $\sigma$ de $\Omega$ tales que $G = \sigma H \sigma^{-1}$. En particular, el mapa de $g\in G \mapsto \sigma^{-1} g \sigma\in H$ es un isomorfismo.

De hecho, tanto la noción son el mismo (ejercicio fácil para usted !), y su lo que Wikipedia llamada permutación grupo de isomorfismo.

Esta noción es bastante más que la noción de grupo de isomorfismo. Tomemos, por ejemplo, $\Omega = \{1,2,3,4\}$, $G$ el grupo de pedido de $2 dólares generados por la transposición de $(1 de 2)$ y $H$ el grupo de pedido de $2 dólares generados por la doble transposición $(1 2)(3 4)$. Como grupos, $G$ y $H$ son isomorfos, debido a que ambos son isomorfos a $\Bbb Z/2\Bbb Z$. Sin embargo, no son isomorfos como permutación de grupo. De hecho, el conjugado de una transposición es siempre una transposición, no puede ser una doble transposición. Más precisamente, el conjugado $\sigma (1 2) \sigma^{-1}$ es la transposición $(\sigma 1, \sigma 2)$.

A la hora de clasificar los subgrupos de un grupo dado, a menudo es importante para clasificar a isomorfismo , sino también a la conjugación, porque isomorfismo de la clase se puede dividir en varias clases de conjugación.