Estructura de una $ C^{\infty} $-colector de

Question

Yo estaba estudiando diferenciable colectores (una introducción) y encontrado el siguiente ejemplo, pero estoy confundido.

Ejemplo La función \begin{align} f: &\mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}, \\ f: &(x,y,z) \mapsto x^{3} + 2 y^{3} + z^{3} + 6 x^{2} y - 1 \end{align} define la estructura de una $ C^{\infty} $-colector $ {f^{-1}}(0) $.

Gracias.

Answer 1

En primer lugar, calcular la matriz Jacobiana de $ f $: \begin{align} \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}: \quad [\mathbf{D}(f)](x,y,z) &= \left[ \matrix{({\partial_{x}} f)(x,y,z) & ({\partial_{y}} f)(x,y,z) & ({\partial_{z}} f)(x,y,z)} \right] \\ &= \left[ \matrix{3 x^{2} + 12xy & 6 x^{2} + 6 y^{2} & 3 z^{2}} \right]. \end{align} Observe que para $ (a,b,c) \in {f^{\leftarrow}}[\{ 0 \}] $, no podemos tener a $ b = c = 0 $, por lo que sea

1. $ \left[ 6 a^{2} + 6 b^{2} \right] $ es no-singular $ (1 \times 1) $-submatriz de a $ [\mathbf{D}(f)](a,b,c) $, o

2. $ \left[ 3 c^{2} \right] $ es no-singular $ (1 \times 1) $-submatriz de a $ [\mathbf{D}(f)](a,b,c) $.

En el Caso 1, el Teorema de la Función Implícita dice que existe una abierta vecindario $ U $$ (a,c) $, un vecindario $ V $$ b $, y un único continuamente función derivable $ g: U \to V $ tal que \begin{align} &\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} ~|~ (x,z) \in U ~ \land ~ y = g(x,z) \} \\ = &\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} ~|~ (x,z) \in U ~ \land ~ y \in V ~ \land ~ f(x,y,z) = 0 \}. \end{align} Por lo tanto, tienen una superficie de parametrización de un barrio de $ (a,b,c) $$ {f^{\leftarrow}}[\{ 0 \}] $, el cual es de la forma $$ \forall (x,z) \U: \quad (x,z) \longmapsto (x,g(x,z),z) \subseteq {f^{\leftarrow}}[\{ 0 \}]. $$

Por un argumento similar, podemos llegar a la misma conclusión para el Caso 2.

Para establecer la suavidad de la función $ g $, podemos aplicar la Analítica Teorema de la Función Implícita, cuyas pruebas se pueden encontrar en esta serie de notas.

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Conclusión: $ {f^{\leftarrow}}[\{ 0 \}] $ $ C^{\infty} $- colector de dimensión $ 2 $.

Answer 2

Guillemin y Pollack iba a ir sobre esto mediante la definición de un regular de valor: Un valor regular de un mapa de $f:X\to Y$ es cualquier punto de $y\in Y$ tal que la derivada de $f$ es nonsingular en los puntos de asignación a $y$. A continuación, muestran que la preimagen $f^{-1}(y)$ es un submanifold de $X$. (Topología diferencial p. 21)

Así, para resolver su pregunta de esta manera, sólo se necesita para calcular el Jacobiano de $f$ y a encontrar cuando es singular, entonces usted demuestra que ninguno de estos puntos están en $f^{-1}(0)$. Entonces usted sabe $0$ es un valor regular y $f^{-1}(0)$ es un colector.

Tenga en cuenta que el regular método de valor de subsume la maquinaria utilizada en la otra respuesta (es decir, argumentos como los que se utilizan para probar las cosas que conducen a la regular teorema del valor.)