¿Cuándo es la imagen directa o pushforward de una gavilla reflexiva localmente libre?

Question

He visto varios teoremas que garantizan que la imagen directa de un conjunto reflexivo vuelva a ser reflexiva, o que la imagen directa de un conjunto localmente libre vuelva a ser localmente libre.

Esto me hace preguntarme si hay algún teorema en geometría algebraica de la forma

"Si $X$ es una variedad algebraica que es (insertar propiedades aquí); $Y$ es una variedad algebraica que es (insertar propiedades aquí); $\mathcal S$ es una gavilla reflexiva sobre $X$ y $f:X\rightarrow Y$ es un mapa que es (inserte las propiedades aquí); entonces $f_*\mathcal S$ es una gavilla localmente libre en $Y$ ."

Si efectivamente existen tales teoremas, qué propiedades hay que insertar, respecto a $X$ , $Y$ y $f$ ?

Suelo pensar sobre todo en la geometría compleja, así que supongo que me interesaría más el caso en que $X$ y $Y$ son variedades complejas, si eso supone una diferencia. Me parece que la situación más natural sería cuando $Y$ es una variedad compleja no singular y $X$ es una cubierta singular y finita de $Y$ y $\mathcal S$ es localmente libre fuera del lugar singular de $X$ . ¿Se puede decir algo en esa situación?

También se agradecen las referencias a teoremas específicos en la literatura (o los nombres de los responsables de los mismos).

Answer 1

Un ejemplo estándar de este tipo de teorema es: Si $X$ y $Y$ son superficies, $Y$ es no singular, $X$ es normal, $f$ es finito, y $S$ es reflexivo, entonces $f_*S$ es localmente libre. La razón es que reflexivo sobre normal implica profundidad $\geq 2$ en puntos cerrados. Entonces $f_*S$ tiene profundidad $\geq 2$ en puntos cerrados también (por la finitud de $f$ ). Por último, si se tiene un módulo maximal de Cohen-Macaulay sobre un anillo local regular, entonces es libre (véase Etiqueta del lema 00NT ).