Cuestión interesante en la geometría diferencial

Question

Deje $ \alpha $ ser un cerrado $ 3 $-forma en $ \mathbb{R}^{4} \setminus \{ 0 \} $. Deje $ i: S^{3} \hookrightarrow \mathbb{R}^{4} $ ser canónica de la incorporación de la $ S^{3} $, y supongamos que $ \Omega := {i^{\star}}(\alpha) $ es una orientación de la forma en $ S^{3} $. Demostrar que $ \alpha $ no puede ser seguido de una suave forma en $ \mathbb{R}^{4} $.

Soy nuevo en la geometría diferencial, y me encontré con este problema. Suena interesante, pero no tengo idea de cómo resolverlo. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Supongamos que $ \alpha $ puede ser extendida a una $ 3 $forma $ \tilde{\alpha} $$ \mathbb{R}^{4} $. Entonces, por la continuidad, $ \tilde{\alpha} $ es un cerrado $ 3 $-forma en $ \mathbb{R}^{4} $. Como formas cerradas en $ \mathbb{R}^{4} $ son exactas (aplicar el Poincaré Lema a $ \mathbb{R}^{4} $, que es un contráctiles espacio), tenemos que $ \tilde{\alpha} = d(\beta) $ algunos $ 2 $-forma en $ \mathbb{R}^{4} $. Como $ \Omega = {i^{\star}}(\alpha) $ que se requiere para ser una orientación de la forma en $ \mathbb{S}^{3} $, su integración en $ \mathbb{S}^{3} $ debe producir un resultado no nulo. Por lo tanto, \begin{align} 0 &\neq \int_{\mathbb{S}^{3}} \Omega \\ &= \int_{\mathbb{S}^{3}} {i^{\star}}(\alpha) \\ &= \int_{\mathbb{S}^{3}} {i^{\star}}(\tilde{\alpha}) \\ &= \int_{\mathbb{S}^{3}} {i^{\star}}(d(\beta)) \\ &= \int_{\mathbb{S}^{3}} d({i^{\star}}(\beta)) \quad (\text{Pullback commutes with exterior derivative.}) \\ &= \int_{\partial \mathbb{S}^{3}} {i^{\star}}(\beta) \quad (\text{By Stokes' Theorem.}) \\ &= \int_{\varnothing} {i^{\star}}(\beta) \quad (\text{%#%#% has no boundary.}) \\ &= 0, \end{align} que es una absoluta contradicción.

Answer 2

Supongamos $\alpha$ no se extienden a una suave forma; en caso de que la extensión está cerrado, lo que representa una clase de $[\alpha]\in H^3(\mathbb R^4)$ de de Rham cohomology. El mapa de $i$ induce un mapa de $i^*:H^3(\mathbb R^n)\to H^3(S^3)$, y la hipótesis de que la $\alpha$ restringe a una forma de volumen significa que $i^*([\alpha])\neq0$.

Esto es imposible, ya $[\alpha]=0$ porque, en realidad, $H^3(\mathbb R^4)=0$.

Answer 3

Sugerencia: ¿Cuál es la relación entre el cerrado exacto de las formas en $\mathbb{R}^n$? Puede una orientación de la forma en $S^3$ ser exactos?