Puede alguien darme un módulo de $M$ sobre un anillo de $R$, de tal manera que $M$ es indecomposable, sino $M$ tiene un submódulo $N$ tal que $N$ es descomponible?
En general, ¿qué otras cuestiones que nos podemos poner en el ring $R$ o $M$ a garantizar que $M$ no tiene ningún tipo de descomponible submódulo $N$?
Con respecto a tu primera pregunta, este es un problema de los Anillos y las Categorías de Módulos por Anderson & Fuller. Compruebe el enlace anterior para la pregunta de la declaración, así como una pista: es decir, tratar un factor módulo de $_{R}R$ donde $R = \mathbb{Q}[X, Y]$.
Si usted toma $R=\begin{pmatrix}k & 0 & 0\\k&k&0\\k&0&k\end{pmatrix}$ donde $k$ es un campo, y la multiplicación está dada por la multiplicación de la matriz, entonces el directo sumando de a $R$ $\begin{pmatrix}k&0&0\\k&0&0\\k&0&0\end{pmatrix}$ es indecomposable, pero tiene el submódulo $\begin{pmatrix}0&0&0\\k&0&0\\k&0&0\end{pmatrix}$ se descompone en dos dimensiones de los módulos.
Yo no trato de una rigurosa prueba, pero (al menos suficiente) supuesto yo sé que en el contexto de finito dimensionales $k$-álgebras es el de la izquierda (o derecha, dependiendo de si se trabaja con la izquierda o a la derecha módulos) uniseriality como una presunción en $R$, que es el conjunto de submódulos de cualquier indecomposable módulo es totalmente ordenado por la inclusión.
Para el supuesto de $M$ (trabajando de nuevo con finito dimensionales $k$-álgebra) es necesario y suficiente para $M$ tener simples zócalo, es decir, no es sólo una simple submódulo de $M$.
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