Ejemplos para el subespacio de un espacio normal que no es normal

Question

¿Existen ejemplos sencillos de subespacios de un espacio normal que no sean normales?

Sé que los subespacios cerrados de un espacio normal son normales, pero los subespacios abiertos en la mayoría de los casos que se me ocurren también son normales.

Answer 1

Un ejemplo muy conocido es $X=(\omega_1+1)\times(\omega+1)$ , donde $\omega_1$ es el primer ordinal incontable con la topología de orden, y $\omega$ es el primer ordinal infinito. $X$ es el producto de dos espacios compactos de Hausdorff, por lo que $X$ es compacta y Hausdorff y, por tanto, normal, pero $X\setminus\{\langle\omega_1,\omega\rangle\}$ no es normal: los conjuntos cerrados $\omega_1\times\{\omega\}$ y $\{\omega_1\}\times\omega$ no pueden estar separados por conjuntos abiertos disjuntos. $X$ es a menudo llamado el Tablón de Tikhonov aunque el nombre también se aplica a veces a $X\setminus\{\langle\omega_1,\omega\rangle\}$ .

Añadido: También podemos apelar al teorema de que un espacio $X$ es Tikhonov (es decir, $T_1$ y completamente regular) si es homeomorfo a un subespacio de algún producto de intervalos unitarios cerrados. Todo producto de intervalos unitarios cerrados es compacto y de Hausdorff, por tanto normal, pero hay muchos ejemplos de espacios de Tikhonov que no son normales, y todo espacio de Tikhonov no normal es un ejemplo de subespacio no normal de un espacio normal. Un par de ejemplos más conocidos de espacios de Tikhonov no normales son el El avión de Moore y el Avión de Sorgenfrey . Otro ejemplo es el espacio descrito en esta respuesta , si $\mathscr{D}$ se considera que tiene cardinalidad $2^\omega=\mathfrak c$ que el apéndice de la respuesta muestra que es posible; la no normalidad del espacio se deduce de El lema de Jones .

Answer 2

Considere $ [0,1]^{\mathbb{R}} $ con la topología del producto. Por el teorema de Tychonoff $ [0,1]^{\mathbb{R}} $ es compacto. Como todo espacio compacto es normal, tenemos $[0,1]^{\mathbb{R}} $ es normal.

Tenga en cuenta que $ (0,1)^{\mathbb{R}} $ es un subespacio de $ [0,1]^{\mathbb{R}} $ . Dado que el producto de incontables copias de ${\mathbb{R}}$ no es normal y ${\mathbb{R}}$ es homeomorfo a (0, 1) tenemos $ (0,1)^{\mathbb{R}} $ no es normal. Por lo tanto, un subespacio de un espacio normal no es necesariamente normal.

Answer 3

${\mathbb R}$ es homeomorfo a $(0,1)$ y el teorema de Tikhonov nos dice que el producto de contablemente infinitas copias de un intervalo es Hausdorff compacto por lo que un subespacio de un subespacio normal no es siempre normal.

Answer 4

La topología $T = \{\emptyset, X , \{a\} , \{a ,b\}, \{a , c\}, \{a ,b ,d\}\}$ en $X = \{a, b , c , d \}$ es normal. Toma $Y = \{a, b, c\}$ . Entonces la topología del conjunto Y es $S = \{ \emptyset , Y , \{a\} , \{ a ,b \} , \{ a , c \}\}$ no es normal. Por lo tanto, el subespacio del espacio normal no tiene por qué ser normal.

Answer 5

La topología $T=\{\emptyset , X,\{a\},\{a,b\},\{a,c\}\}$ en $X=\{a,b,c,d\}$ .

Tome el subespacio $Y=\{a,b,c\}$ con Topología $S=\{\emptyset,Y,\{a\},\{a,b\},\{a,c\}\}$ . Entonces Y no es normal sino $(X,T)$ es normal.