La ecuación de $(36)$ en Mathworld del Prim Sumas página se lee: $$ \sum_{k=1}^{p-1}\left\lfloor \frac{k^3}{p}\right\rfloor=\frac{(p-2)(p-1)(p+1)}4 $$ Tengo curiosidad por cómo esto puede ser demostrado, pero no tengo ni idea...
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La idea es, seguramente, para comparar la suma de dos $$ A=\sum_{k=1}^{p-1}\frac{k^3}p\qquad\text{y}\qquad B=\sum_{k=1}^{p-1}\left\lfloor\frac{k^3}p\right\rfloor. $$ Vemos que la diferencia de $A-B$ es igual a la suma de menos positiva de los restos de los cubos $k^3$ modulo $p$ dividido por $p$.
Yo afirmación de que la suma de esos residuos es $p(p-1)/2$. Si $p\not\equiv1\pmod 3$, luego de esto se deduce del hecho de que $k\mapsto k^3$ es una permutación de la elementos del grupo de $\mathbb{Z}_p^*$. OTOH, si $p\equiv1\pmod3$, luego $k\mapsto k^3$ es un 3-1 asignación de alcanzar todos cúbicos de residuos modulo $p$ como un valor tres veces. Debido a $-1$ es un cúbicos de residuos, el $(p-1)/3$ cúbicos de residuos vienen en pares:$\{a,p-a\}$. El reclamo de la siguiente manera en este caso.
Así $$ A-B=\frac{p-1}2. $$ Se sabe que $$ A=\frac14p(p-1)^2. $$ El reclamo de la siguiente manera a partir del cálculo $$ B=-\frac{p-1}2=\frac14[p(p-1)^2-2(p-1)]=\frac14(p-1)(p^2-p-2). $$
Pedro Tamaroff
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Para cada una de las $1\leq k\leq p-1$ podemos escribir $$k^3=q_kp+r_k$$and $$q_k=\left\lfloor\frac{k^3}{p}\right\rfloor\;\;,\;\;0\leqslant r_k<p-1$$
Ahora, obtenemos que $$\sum_{k=1}^{p-1}k^3=p\sum_{k=1}^{p-1}\left\lfloor\frac{k^3}{p}\right\rfloor+\sum_{k=1}^{p-1}r_k$$
Es bien sabido que $$\sum_{k=1}^{p-1}k^3=\left[\frac{p(p-1)}{2}\right]^2$$
así que tenemos que $$\frac{{p{{\left( {p - 1} \right)}^2}}}{4} - \frac{1}{p}\sum\limits_{k = 1}^{p - 1} {{r_k}} = \sum\limits_{k = 1}^{p - 1} {\left\lfloor {\frac{{{k^3}}}{p}} \right\rfloor } $$ Por lo tanto, queda por determinar $$\sum_{k=1}^{p-1}r_k$$ which in light of your formula must be $$\frac{{p\left( {p - 1} \right)}}{2} = \sum\limits_{k = 1}^{p - 1} {{r_k}} $$
Ahora, hacemos la simple observación de que, mod $p$, $$x^3+(p-x)^3=0\mod p$$
Dado que los residuos se $<p$, pero aquí se suma un múltiplo de $p$, este múltiple debe ser $p$, de donde tenemos $(p-1)/2$ pares que se suma a $p$, de ahí que su suma debe ser $$\frac{p(p-1)}{2}$$ y hemos terminado.
