No estoy seguro de lo que quiere decir con $G$ puede no ser transitiva, pero intentaré dar una explicación no técnica muy a mano de una $p$ nombre. Aún así, recomendaría seguir trabajando con las definiciones de Kunen y Jech, ya que la base técnica es importante.
A $\mathbb{P}$ -nombre $\tau$ (también me referiré a él como simplemente nombre) es una descripción de un elemento de $M[G]$ . La forma en que describe el elemento es eligiendo justo los conjuntos que contendrá de forma recursiva. Dado que en la teoría de conjuntos todo está hecho de conjuntos, cada uno de ellos..T hTeh ew awya yi ti td edsecsrcirbiebse st hteh ee leelmeemnetn ti si sb yb yc hcohoosoisnign gj ujsuts tw hwih. ci hcT hhs ees tewsta syi tii ttw iwdliells lcc rocinobtneatsia nit nhi eni nea l aer merecenuctru sriissvi evb eyf afcsahhsoihooisnoi.nn . gS iSjniucnsect e i wnih nis ceshte tst ehttehsoe roiyrt y e wveievlrelyr tychtoihnnitgna gii nsi sim nam daaed ero efoc fus ressteistv see aefcaahcs hh ion. Como en la teoría de conjuntos todo está hecho de conjuntos cada $\mathbb{P}$ -nombre $\tau$ da una descripción completa de cómo debe convertirse el conjunto cuando se evalúa con respecto a un determinado $G$ se verá.
Ignoremos la definición de $\mathbb{P}$ -nombre por el momento y considerar cómo podríamos definirlo por nuestra cuenta. Para ello, pensemos primero en cómo trabajamos con MA. Con MA la situación es mucho más fácil, ya que normalmente sólo "construimos" un objeto con cada poset. Tomemos el poset más básico $\{f; f:\omega\rightarrow\omega \text{ is a partial function}\}$ ordenados por inclusión. Este es el poset que utilizamos para muchos propósitos diferentes. Uno en el que estoy pensando ahora es mostrar que bajo $MA+\neg CH$ tenemos $\mathfrak{d}=\mathfrak{c}$ . Es decir, el número dominante es tan grande como puede ser. El poset se utiliza de la manera más obvia, tomamos un genérico $G$ a través de conjuntos densos que serán determinados por nuestro intento de familia dominante de tamaño $<\mathfrak{c}$ . Cada conjunto denso garantizará que la unión de nuestros $G$ no será dominado por la familia pequeña.
Entonces, en MA, ¿cuál es el "nombre" del "nuevo" elemento? Bueno, sólo necesitamos que cada elemento de $G$ para añadir los pares apropiados a nuestra función resultante, por lo que se puede pensar que el nombre consiste en cada $p\in \mathbb{P}$ de $p\times$ { el conjunto de todos los pares de valores $p$ ya determina}. Entonces, cuando se evalúa en $G$ se obtiene una función total que satisface todo lo que se necesita.
¿Por qué no iba a funcionar algo así para forzar? Parece más fácil tener simplemente un $\mathbb{P}$ -nombre sea un conjunto de pares $\{<x,p>; x\in M\wedge p\in\mathbb{P}\}$ . El problema es que, a diferencia de lo que ocurre en MA, donde todo existe ya; es decir, tenemos un modelo en el que MA es verdadero y no estamos construyendo realmente nada, sólo estamos demostrando que algo ya existe. Cuando se fuerza la evaluación de su $\mathbb{P}$ -nombres en realidad tiene que crear todo un nuevo modelo de teoría de conjuntos. Este enfoque para construir $\mathbb{P}$ -nombres dejaría fuera muchos elementos. Por ejemplo, si se añaden nuevos conjuntos $A,B\not\in M$ entonces el conjunto $<A,B>$ no puede ser descrito por ningún $\mathbb{P}$ -nombre del tipo que acabo de definir.
El párrafo anterior muestra que para obtener nombres que evalúen lo suficiente del nuevo modelo tendremos que definirlos recursivamente. Si añado un nuevo elemento a mi modelo también tengo que añadir su conjunto de potencia y el conjunto de un elemento que contiene el nuevo elemento y el conjunto de un elemento que contiene el elemento. Podríamos ampliar nuestra definición para permitir, además de $\{<x,p>; x\in M\wedge p\in\mathbb{P}\}$ cualquier $\mathbb{P}$ -nombre en la primera coordenada (en realidad ya lo hacemos en esta definición se trata más bien de la función de evaluación, pero me estoy agitando). Esto sólo añade complejidad, ya que la función de evaluación a veces se va a aplicar recursivamente (cuando x es un $\mathbb{P}$ -nombre) y a veces simplemente se detiene (cuando x es algún otro conjunto arbitrario en $M$ ).
Esto nos lleva a la definición de $\mathbb{P}$ -Nombres como los que figuran en su OP. En lugar de permitir conjuntos arbitrarios en $M$ como primera coordenada tendremos cada $\mathbb{P}$ -nombre sea un set de pares $<\alpha,p>$ donde $\alpha$ es un $mathbb{P}$ -nombre de un rango inferior y $p$ es un elemento de nuestro poset.
Para dar un ejemplo, veamos uno $\mathbb{P}$ -nombre del conjunto $2$ . Queremos que el resultado se evalúe como $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}=2$ no importa cuál $G$ elegimos. Así que dejamos que $\tau=\{<\emptyset,\mathfrak{1}>,<\{<\emptyset,\mathfrak{1}>\},\mathfrak{1}>\}$ .
Ahora, obviamente, este es un nombre muy aburrido ya que no hace ninguna elección. Supongamos que queremos un nombre que se evalúe como $1$ si $p\in G$ y a $\{1\}$ si $g\in G$ y a $2$ si ambos $p$ y $g$ están en $G$ . Entonces se obtiene $\tau=\{<\emptyset,p>,<\{<\emptyset,\mathfrak{1}>\},g>\}$ . Ahora bien, si $p\in G$ se obtiene $val(\tau,G)\ni \emptyset$ , si $g\in G$ entonces $val(\tau,G)\ni 1=\{\emptyset\}$ y si ambos $p$ y $g$ está en $G$ se obtiene $val(\tau,G)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}=2$ .
Espero que esto haya ayudado, algunos comentarios y preguntas son bienvenidos.
