$V^* \not\cong V$ si $V$ es de dimensiones infinitas, el problema mostrando que $\text{Card}(\Lambda \times F) < \text{Card}\left(F^\Lambda\right)$.

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial sobre $F$. Considere la posibilidad de la doble espacio vectorial $V^* = \{f: V \to F\text{ }|\text{ }f\text{ is linear}\}$. Mostrar que si $V$ es de dimensiones infinitas, a continuación, $V^*$ no es isomorfo a $V$.

Deje $\Lambda$ ser un conjunto de índices. Entonces tenemos la siguiente.

La proposición. Deje $F$ campo. Entonces$$\left(\bigoplus_{i \in \Lambda} F\right)^* \cong \prod_{i \in \Lambda} F,$$where$$\bigoplus_{i \in \Lambda} F = \{\phi: \Lambda \to F\text{ }|\text{ only finitely many elements in }\Lambda\text{ have nonzero images}\}$$and$$\prod_{i \in \Lambda} F = \{\chi: \Lambda \to F\}.$$Prueba. Para ver esto:

• Primero de todo, para cualquier $\chi \in \prod_{i \in \Lambda}F$, corresponde lineal mapa$$f_\chi: \bigoplus_{i \in \Lambda} F \to F,\text{ }\phi \mapsto \sum_{i \in \Lambda} \phi(i)\chi(i).$$Notice that the right-hand side is actually a finite sum, so $f_\chi$ is well-defined. It can be checked easily that $f_\chi$ is indeed a linear function on $\bigoplus_{i \in \Lambda}F$.
• Siguiente, supongamos $f$ es cualquier función lineal en $\bigoplus_{i \in \Lambda}F$. Se define un mapa$$\chi: \Lambda \to F,\text{ } i \mapsto f(e_i),$$where $e_i$ is a function from $\Lambda$ to $F$ that sends $i$ to $1$ and sends any $j \neq yo$ to $0$. Then we claim that $f = f_\chi$: this is because, for any $\phi \en \bigoplus_{i \in \Lambda} F$, $\phi = \sum_{i \in \Lambda} \phi(i)e_i$. So we have$$f_\chi(\phi) = \sum_{i \in \Lambda} \phi(i)\chi(i) = \sum_{i \in \Lambda} \phi(i)f(e_i) = f\left(\sum_{i \in \Lambda} \phi(i)e_i\right) = f(\phi).$$Hence $f = f_\chi$ and so $f$ is an element in $\prod_{i \in \Lambda}F$.$\etiqueta*{$\square$}$

Nuestro objetivo es mostrar que cuando se $\Lambda$ es infinito, $\left(\bigoplus_{i \in \Lambda} F\right)^* \cong \prod_{i \in \Lambda}F$ no es isomorfo a $\bigoplus_{i \in \Lambda} F$.

En realidad nos demuestra que los dos conjuntos de $\bigoplus_{i \in \Lambda} F$ $\prod_{i \in \Lambda} F$ tienen diferentes cardinalidades. Así que no habrá ningún bijection entre el$\bigoplus_{i \in \Lambda} F$$\prod_{i \in \Lambda} F$.

Indicar la cardinalidad de un conjunto $X$$\text{Card}(X)$. El uso de la teoría de conjuntos argumentos, podemos probar el siguiente:

• Para cada $F$,$$\text{Card}\left(\bigoplus_{i \in \Lambda} F\right) = \text{Card}(\Lambda \times F).$$$($en Realidad, $\bigoplus_{i \in \Lambda} F$ es una contables de la unión de conjuntos con la misma cardinalidad como $\Lambda \times F$.$)$
• $$\text{Card}\left(\prod_{i \in \Lambda} F\right) = \text{Card}\left(F^\Lambda\right).$$

Por último, debemos siempre tener $$\text{Card}(\Lambda \times F) < \text{Card}\left(F^\Lambda\right)$$when $\Lambda$ es infinito.

Mi primera pregunta es, ¿cómo podemos demostrar esto? Creo que esto es correcto, pero no sé cómo probar esto. Al menos al $F$ $\Lambda$ son tanto contables, sabemos que esta desigualdad es correcta porque es, simplemente,$\aleph_0 < \aleph_1$.

Observe que cualquier espacio vectorial puede escribirse de la forma $\bigoplus_{i \in \Lambda} F$ algunos $\Lambda$. Así que si tenemos la desigualdad anterior se cumple para cualesquiera $F$ e infinito $\Lambda$, entonces se puede demostrar que para cualquier infinito-dimensional espacio vectorial $V$, $V^*$ no es isomorfo a $V$.

Para algo que debería ser intuitivamente cierto, esta prueba fue largo, tedioso y molesto. Así que mi segunda pregunta es, ¿existe una forma más simple prueba de que el hecho de $V^* \not\cong V$ si $V$ es infinito-dimensional? Gracias de antemano.

Answer 1

No es cierto. Un contraejemplo sería $\Lambda=\mathbb N$$F=\mathbb R$.

A continuación,$|\Lambda\times F|=2^{\aleph_0}$, e $|F^{\Lambda}|=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\times\aleph_0}=2^{\aleph_0}$. Por lo que la desigualdad de $|\Lambda\times F|<|F^\Lambda|$ ¿ no se mantienen aquí.

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En su lugar, usted puede probar que la dimensión de $V^*$ al menos $2^\Lambda$, mostrando un conjunto linealmente independiente de cardinalidad $2^\Lambda$. El teorema de la dimensión, a continuación, muestra que $V$ $V^*$ no pueden ser isomorfos.

Deje $G$ ser el conjunto de todos los finita subconjuntos de a $\Lambda\times\{0,1\}$. Es bien sabido que cuando se $\Lambda$ es infinte, hay un bijection $h: \Lambda\to G$.

Ahora para cualquier $f\in \{0,1\}^\Lambda$, vamos $$ v_f(\mathbf{e}_\lambda) = \begin{cases} 1 & \text{if }h(\lambda)\subseteq f \\ 0 & \text{otherwise} \end{casos} $$ $v_f$ es entonces un elemento de $V^*$. Además, en cualquier (finito) relación lineal entre la $v_f$s, cada coeficiente debe ser 0, ya que cada elemento de un conjunto finito de $f$s tiene algunas $h(\lambda)$ subconjunto que lo distingue de los otros $f$'s.