$ \sum ^{ \infty }_{n=1}x_n$ converge $ \Rightarrow $ $ \sum ^{ \infty }_{n=1}x_n^3$ converge también?

Question

Que la serie $ \sum ^{ \infty }_{n=1}x_n$ convergen. $\{x_n\}_{n=1}^{ \infty } \in \mathbb R$

¿Desea $ \sum ^{ \infty }_{n=1}x_n^3$ convergen también?

Intenté encontrar algunos contra-ejemplos pero no encontré ninguno. Traté de probar esto también, pero no puedo... No sé ni siquiera si es verdad o no.

Answer 1

Deje que $a= \exp (2 \pi i/3)$ (tal que $1+a+a^2=0$ y $a^3=a^6=1$ )

Toma la serie $$x_{3n} = \frac {1}{n^{1/3}}, \quad x_{3n+1} = ax_{3n}, \quad x_{3n+2}=a^2x_{3n}.$$

Con tal elección de $x$ la serie $ \sum_n x_n$ converge, pero la serie $ \sum_n x_n^3$ no lo hace.

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Elija números reales $a$ , $b$ , $c$ de tal manera que $$a+b+c=0 \\a ^3+b^3+c^3>0.$$ Por ejemplo, $a=-1$ , $b=-2$ , $c=3$ . Entonces toma

$$x_{3n} = \frac {a}{n^{1/3}}, \quad x_{3n+1} = \frac {b}{n^{1/3}}, \quad x_{3n+2}= \frac {c}{n^{1/3}}.$$

Con tal elección de $x$ la serie $ \sum_n x_n$ converge, pero la serie $ \sum_n x_n^3$ no lo hace.

Answer 2

No, si los signos de la $x_n$ no son lo mismo; aquí hay un contraejemplo bastante típico. Define la serie $ \sum_nx_n $ de la siguiente manera. Sus términos positivos son $1/n^{1/3}$ para todos los números naturales $n$ cada uno de estos términos ocurre exactamente una vez. Sus términos negativos son $-1/n^{4/3}$ cada una ocurriendo exactamente $n$ veces, inmediatamente después del término positivo correspondiente $1/n^{1/3}$ . En otras palabras, la serie consiste en bloques de términos consecutivos, donde el $n$ El negro consiste en $1/n^{1/3}$ seguido de $n$ sucesos consecutivos de $-1/n^{4/3}$ . Fíjense que cada bloque tiene una suma $0$ de lo que se deduce fácilmente que toda la serie converge en $0$ . Ahora considera lo que sucede cuando cubres cada término. El $n$ El bloque de la nueva serie consiste en un término positivo $1/n$ seguido de $n$ términos negativos consecutivos $-1/n^4$ . El $n$ términos negativos en el $n$ El bloque de la manzana se suma a $-1/n^3$ que está lejos de cancelar el término positivo $1/n$ . De hecho, excepto por el primer bloque o dos, la suma de los $n$ El bloque será positivo y más grande que $1/(2n)$ . Dado que la serie armónica diverge, esto significa que la serie de cubos diverge a $+ \infty $ .

Answer 3

Pista: justificar que existe $N$ de tal manera que para $n \geq N$ :

$$(x_n)^3 \leq x_n $$

y concluir.