Ejemplos de propiedades que no se conserva bajo un homomorphism

Question

Un isomorfismo indica que dos estructuras son las mismas, el uso de diferentes nombres para los elementos. Por lo tanto, es obvio que cada (algebraica) de propiedad de la primera estructura debe estar presente en el segundo.

Sin embargo, homomorphisms sólo indican que las dos estructuras son "similares", por lo que no es tan obvio que todas las propiedades que se conservan. Sin embargo, todas las propiedades que he visto se conserva bajo un homomorphism: conmutatividad, la ciclicidad, solvencia...

¿Cuáles son algunos ejemplos de propiedades de estructuras algebraicas no se conserva bajo un homomorphism? Siéntase libre de utilizar cualquier estructuras algebraicas que te gusta, pero estoy particularmente interesado en su jardín variedad de estructuras: grupo y anillos, dicen.

Answer 1

Un ejemplo muy simple es la cardinalidad.

Answer 2

Una imagen de un objeto algebraico es equivalente a un cociente en el más elemental de los casos. Tomando un cociente es un proceso de identificación, por lo que un general de la clase de propiedades que no se conservan en las imágenes son los relativos a la unicidad de soluciones de ecuaciones.

Por ejemplo, en cualquier grupo abelian una ecuación lineal con una solución tiene una única solución-pero en abelian grupos de torsión pueden ser muchos. Del mismo modo, los anillos de polinomios sobre un campo admitir la factorización de teoremas para el efecto de que un polinomio de grado $n$ no tiene más de $n$ raíces, mientras que no son cero polinomios sobre finito anillos que aniquilar a todo el anillo.

Answer 3

Una forma de obtener algunas propiedades no se conservan en general homomorphisms es tomar cuantitativa versiones de algunas propiedades cualitativas que son tan conservado. Por ejemplo, en el caso de grupos, mientras que la solubilidad se conserva, la derivada de la longitud no es. Asimismo, nilpotence se conserva pero la clase de nilpotence no lo es. El exponente de un grupo no se conserva (pero al ser finito exponente es).

Algunos otros que vienen a la mente (para grupos): residual de la finitud (y muchas otras residual de propiedades), siendo el centro de-menos, ser libre y sin torsiones.

Answer 4

La cancelación de la ley en un conmutativa monoid. Un ejemplo se da en una respuesta a este (tipo de) pregunta. Más natural ejemplo del mismo fenómeno: homomórfica de la imagen de un integrante del dominio de la necesidad de no ser un dominio.

Answer 5

Conmutatividad no es una propiedad que obtiene conservados por un homomorphism. Considerar el álgebra Una con una operación binaria tal que se tiene la siguiente tabla:

A  0  1
0  1  0
1  0  1

Ahora vamos a definir un homomorphism H: H[a(x, y)]=B[H(x), H(y)] de {0, 1} a {3, 4, 5}, donde H(0)=3 y H(1)=5, donde el álgebra B tiene la siguiente tabla:

B  3  4  5
3  5  4  3
4  5  3  3
5  3  4  5

B y Un por lo tanto no son estructuras similares. Una es similar a una sub-estructura de B.

Parece razonable concluir que no algebraicas estructura se hace conserva bajo un homomorphism, sólo que una expresión algebraica estructura se hace respetado por una sub-estructura de la meta de álgebra.