Por lo que sé, el conjunto Cantor es un conjunto Borel porque es la unión de una colección contable de conjuntos cerrados. Ahora es cualquier subconjunto del conjunto de Cantor un conjunto de Borel?
Respuesta
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No.
La cardinalidad de los Borel $ \sigma $ -algebra sobre $ \mathbb R$ (o en $[0,1]$ ) es la misma que la de $ \mathbb R$ . Este es un hecho no trivial que puede ser probado por inducción de transfinita ver, por ejemplo, Billingsley (1995) . Por otro lado, la cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos del conjunto de Cantor es la misma que la de $2^{ \mathbb R}$ el conjunto de energía de $ \mathbb R$ -recuerde que el conjunto de Cantor tiene la cardinalidad del continuo. La cardinalidad de $2^{ \mathbb R}$ a su vez, es estrictamente mayor que la de $ \mathbb R$ por un teorema también gracias a Cantor. Por lo tanto, al menos un subconjunto del conjunto de Cantor debe ser no-Borel.
Sin embargo, cualquier subconjunto del conjunto de Cantor es Lebesgue medible por la definición de la Lebesgue $ \sigma $ -algebra, que es la finalización del Borel $ \sigma $ -algebra, dado que el conjunto de Cantor tiene la medida de Lebesgue $0$ .
El mismo razonamiento muestra que cualquier subconjunto de $ \mathbb R$ que tiene la misma cardinalidad que $ \mathbb R$ (por ejemplo, cualquier intervalo no degenerado) contiene subconjuntos no Borel. En particular, hay son subconjuntos no Borel de $ \mathbb R$ .
En cualquier caso, tenga en cuenta que la axioma de elección -o sus variantes equivalentes como el teorema del buen orden invocada en la inducción transfinita, es crucial para todos estos resultados. De hecho, la posibilidad de que todos subconjuntos de $ \mathbb R$ son Borel es lógicamente consistente con la negación del axioma de elección. Ver más sobre esto aquí .
Por cierto, el plató de Cantor está cerrado, a fortiori Borel.
