Encontrar la inversa de la función de longitud de arco

Question

Sólo soy un simple estudiante de matemáticas de secundaria, así que por favor no me coman =)

En mi texto de cálculo, tengo la fórmula:

$$L(x) = \int_{c}^{x} \sqrt{[f'(t)]^2 + 1}\,dt$$

Donde $L(x)$ es la longitud de arco de una curva $f(x)$ de $c$ a $x$ .

¿Cómo puedo invertir esta función para encontrar valores válidos de $x$ para satisfacer una longitud de arco determinada? Algo así como $L^{-1}(x)$ .

Answer 1

Se puede hacer mediante una ecuación diferencial sin llegar a $L(x)$ explícitamente. Si $\frac{dL}{dx} = \sqrt{1 + f'(x)^2}$ entonces $\frac{dx}{dL} = \frac{1}{\sqrt{1 + f'(x)^2}}$ . Se pueden utilizar métodos numéricos para resolver esta ecuación diferencial.

Answer 2

¡Buena idea!

Mientras la función $g(x)$ se comporta bien, tenemos el siguiente resultado muy importante. Sea $$G(x)=\int_c^x g(t)dt$$ . Entonces $G'(x)=g(x)$ .

Este resultado (y algunos relacionados) se llama Teorema Fundamental del Cálculo (Integral).

Ahora apliquemos eso a tu problema. Obtenemos $$L'(x)=\sqrt{1+(f'(x))^2}$$

Utilice la ecuación anterior para resolver $f'(x)$ en términos de $L'(x)$ . Si se toma $L(x)$ como se sabe, ha encontrado una fórmula explícita para $f'(x)$ y todo lo que tienes que hacer es integrarte.

Ahora viene la parte desafortunada. Para la mayoría de las funciones agradables $L(x)$ el problema de integración resultante será difícil o, más a menudo, imposible (en términos de funciones estándar).

Espero que esto te dé algo con lo que jugar. Descubrirás por qué hay un número tan limitado de problemas de longitud de arco en los libros de cálculo.

Answer 3

Básicamente estás preguntando cómo se puede encontrar la "parametrización arclenght" para la gráfica de una función (la parametrización arclenght se suele estudiar para las curvas paramétricas).

Puede que me equivoque pero por lo que recuerdo esta Pregunta suele ser difícil, la única forma que conozco de resolverla es simplemente computando $L(x)$ y tratar de encontrar su función inversa.