Ayuda para resolver un límite

Question

Mientras ayudaba a un amigo para un examen (último año de preparatoria), encontré un ejercicio que ninguno de los dos pudo resolver. He intentado varios enfoques diferentes pero nada parecía funcionar. ¿Podría alguien decirme cómo resolverlo, o al menos darme algunas pistas? Este es el ejercicio:

Sabiendo que

$$\lim_{x \to a}\frac{x^2-\sqrt{a^3x}}{\sqrt{ax}-a}=12$$

Encuentra $a$.

Podemos asumir que $a$ existe y es real.

Answer 1

Primero, nota que $a>0$.

Si $a<0$, entonces $$\lim_{x \rightarrow a} \frac{x^2-\sqrt{a^3x}}{\sqrt{ax}-a} = \frac{a^2 - a^2}{-a-a} = 0$$

Si $a=0$, entonces $\lim_{x \rightarrow a} \frac{x^2-\sqrt{a^3x}}{\sqrt{ax}-a}$ no existe.

Por lo tanto, $a>0$.

Sea $\sqrt{ax}=y$ es decir, $x = \frac{y^2}{a}$. Observa que conforme $x \rightarrow a$, $y \rightarrow a$.

Por lo tanto, $$\lim_{x \rightarrow a} \frac{x^2-\sqrt{a^3x}}{\sqrt{ax}-a} = \lim_{y \rightarrow a} \frac{y}{a^2} \frac{y^3-a^3}{y-a} = \frac{3a^2}{a} = 3a$$

Así que, $a=4

Answer 2

Una manera es la aplicación de la regla de L'Hôpital. Dado que tanto el denominador como el numerador en $$\lim_{x \to a}\frac{x^2-\sqrt{a^3x}}{\sqrt{ax}-a}$$ van a cero, por la regla de L'Hôpital esto es lo mismo que $$\lim_{x \to a}\frac{2x-a^{3/2}\frac{1}{2}x^{-1/2}}{\frac{\sqrt{a}}{2}x^{-1/2}}$$ Simplificando la expresión obtenemos que esto es igual a

$$\lim_{x \to a}\frac{4x^{3/2}-a^{3/2}}{\sqrt{a}}=\frac{3a^{3/2}}{\sqrt{a}}=3a$$

Por lo tanto, elegimos $a=4$.

Answer 3

Usando Regla de L'Hôpital tenemos $$ \lim_{x \to a} \frac{2x- \frac{a^3}{2 \sqrt{a^{3}x}}}{\frac{a}{2 \sqrt{ax}}} = 12$$

$$\Longrightarrow \frac{2a-\frac{a^3}{2a^2}}{\frac{1}{2}} = 12$$

$$\Longrightarrow 2\left(2a- \frac{a^3}{2a^2}\right)= 12$$

Entonces $a = 4$.

Answer 4

Además de L'Hopital, uno puede simplemente racionalizar el denominador, después de descartar el caso $\rm\:a \le 0\:$, a saber:

$$\rm \frac{x^2-a\sqrt{ax}}{\sqrt{ax}-a}\ =\ \frac{x^2-a\sqrt{ax}}{\sqrt{ax}-a} \ \frac{\sqrt{ax}+a}{\sqrt{ax}+a}\ =\ \frac{ax\:(x-a)+\sqrt{ax}\ (x^2-a^2) }{a\:(x-a) }\ =\ x+(x+a)\sqrt{\frac{x}{a}}$$

Dado que lo anterior $\rm\to 3\ a\ $ cuando $\rm\ x\to a\ $, el problema se reduce a resolver $\rm\ 3\ a = 12\:$.