¿Por qué la convolución de trabajo?

Question

Así que yo sé que si queremos encontrar la distribución de probabilidad de una suma de variables aleatorias independientes $X + Y$, se puede calcular de las distribuciones de probabilidad de $X$$Y$, diciendo:

$$f_{X + Y}(a) = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_{X, Y}(X = x, Y = a - x)~dx = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(a - x)~dx$$

Intuitivamente, esto tiene sentido, porque si queremos hallar la probabilidad de que dos variables aleatorias suma a $a$, que es básicamente la suma de las probabilidades de todos los eventos que llevan a las variables que se suma a $a$. Pero, ¿cómo puedo formalmente probar esta afirmación?

Answer 1

La solución más general considera $Z = X + Y$ donde $X$ $Y$ no son necesariamente independientes. Un común estrategia de solución para los problemas en los que usted se está preguntando dónde PDF vino o cómo justificarlo, es encontrar un acumulado probablemente en su lugar, luego se diferencian para reducir el CDF a un PDF.

Es bastante fácil ver que en ese caso $F_Z(z) = \mathrm{P}(Z \leq z) = \int \int_R f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ donde $R$ es la región de la $x$-$y$ plano para que $x + y \leq z$.

Este es el azul nacidas de la región en el diagrama de abajo. Es natural para integrar sobre esta región descomponiéndolo en tiras - lo he hecho con tiras verticales sino horizontales va a hacer. Efectivamente termino con una tira para cada $x$ co-ordenadas, que van desde la $-\infty$$\infty$, y a lo largo de cada tira quiero $y$ valores de no elevarse por encima de la línea de $x + y = z$, lo $y \leq z - x$.

Ahora hemos obtenido los límites de integración en términos de$x$$y$, podemos hacer una sustitución $u=x$, $v=x+y$ de la siguiente manera, con el objetivo de llegar a $z$ a aparecer como el límite superior de $v$. La matemática es sencilla siempre y cuando usted entienda el uso de la Jacobiana para cambiar las variables.

$$F_Z(z) = \int_{x = -\infty}^{x=\infty}\int_{y=-\infty}^{y=z-x}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{v = -\infty}^{v=z}\int_{u=-\infty}^{y=\infty}f_{X,Y}(u,v-u)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v $$

Siempre y cuando ciertas condiciones se cumplen, podemos diferenciar bajo el signo integral con respecto a $z$ para obtener:

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(u, z-u)\,\mathrm{d}u$$

Que funciona incluso si $X$ $Y$ no son independientes. Pero si lo están, podemos reescribir la articulación de la densidad como el producto de los dos marginal:

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_X(u)f_Y(z-u)\,\mathrm{d}u$$

La variable ficticia $u$ puede sin perjuicio ser escrito como $x$ si lo deseas.

Mi notación para la integral exactamente la siguiente Sección 6.4 de Geoffrey Grimmett y Dominic Walsh, Probabilidad: Una Introducción, Oxford University Press, Nueva York, 2000.

Answer 2

La afirmación es verdadera si y sólo si el lado derecho actúa como una densidad de $X+Y$; es decir,

$$F_{X+Y}(a)=\mathbb{P}(X+Y\le a) = \int_{-\infty}^a f_{X+Y}(z)\,\mathrm{d}z = \int_{-\infty}^a \left(\int f_X(x) f_Y(z-x)\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}z$$

para todos los $a$. Vamos a comprobar que esta empezando con el lado derecho.

Aplicar el Teorema de Fubini para cambiar el orden de integración y hacer la sustitución $z = x+y$. El determinante de su Jacobiano es $1$, así que no hay condiciones adicionales introducidas por este cambio de variables. Tenga en cuenta que debido a $z$ $y$ están en una correspondencia uno a uno y $-\infty \lt z \le a$ si y sólo si $-\infty \lt y \lt a-x$, podemos reescribir la integral como

$$=\int \left(\int_{-\infty}^{a-x}f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d} y\right)\mathrm{d}x.$$

Por definición esta es la integral sobre $\mathbb{R}^2$ de

$$=\iint I(x+y\le a)f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$$

donde $I$ es el indicador de función de un conjunto. Por último, desde el $X$ $Y$ son independientes, $f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ todos los $(x,y)$, revelando la integral de la mera expectativa

$$=\iint I(x+y\le a)f_{(X,Y)}(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \mathbb{E}(I(X+Y\le a))=\mathbb{P}(X+Y\le a),$$

como se desee.

---

De manera más general, incluso cuando uno o ambos de $X$ o $Y$ no tiene una función de distribución, se puede obtener

$$F_{X+Y}(a) = \mathbb{E}_X\left(F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_Y\left(F_X(a-Y)\right)$$

directamente de definiciones básicas, el uso de la expectativa de los indicadores de ir y venir entre las probabilidades y expectativas y la explotación de la independencia de la asunción para el cálculo se dividen en diferentes expectativas con respecto a $X$$Y$:

$$\eqalign{ \mathbb{P}(X+Y\le un) &= \mathbb{E}(I(X+Y\le)) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{E}_Y(I(X+Y\le un)\right) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{P}_Y(Y\le a-X)\right) \\ &=\mathbb{E}_X(F_Y(a-X)). }$$

Esto incluye las fórmulas usuales para discretas variables aleatorias, por ejemplo, aunque en una forma ligeramente diferente de lo habitual (porque se expresa en términos de la Cdf en lugar de la probabilidad de la masa de funciones).

Si usted tiene una lo suficientemente fuerte teorema sobre intercambio de derivadas e integrales, se puede diferenciar ambos lados con respecto a $a$, para obtener la densidad $f_{X+Y}$ en un solo golpe,

$$\eqalign{ f_{X+Y}(a) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}} F_{X+Y}(a) =\mathbb{E}_X\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}} F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_X \left(f_Y(a-X)\right) \\ &= \int f_X(x) f_Y(a-x) \,\mathrm{d} x. }$$