Que functor ¿el espacio proyectivo representan?

Question

Espero que esta pregunta no es demasiado tonto. Sin duda es fundamental, así que la respuesta es probable que contenía, al menos implícitamente, en la mayoría de las fuentes por ahí, pero no he visto que se hace de esta manera (que es, en este particular functorial manera) en una forma en la que se manifiesta que suficiente para mí para tomar en. Estoy familiarizado con los clásicos $Proj$-construcción de una gradual anillo, de manera que no es exactamente lo que yo estoy buscando.

Deje $k$ ser un anillo. Vamos a llamar a un functor covariante de los conjuntos en alguna categoría de $k$-álgebras de una expresión algebraica functor ( $k$ ). El afín $I$-espacio de más de $k$ es el algebraicas functor $\mathbb{A}^I:(k−alg)→(set)$ que se lleva un $k$-álgebra $R$ para el conjunto de $\mathbb{R}^I$ $I$- tuplas de elementos de $R$. Este functor es (co)representable por el anillo de $k[T_i],i∈I$, lo $\mathbb{A}^I$ es (representado por) un esquema afín.

Quiero que el espacio proyectivo sobre $k$ en términos de una expresión algebraica functor $k$. Estoy pensando en algo como $R↦\{\mathbb{R}^{I+∞}/\mathbb{G}_m(R)\}$ (donde $\mathbb{G}_m(R)$ es el grupo multiplicativo de a $R$), o como un functor el envío de $R$ a un conjunto de módulos de rango $1$. Uno debería ser capaz de demostrar que tiene una cubierta por cuatro copias de los afín $I$-espacio de más de $k$. Alternativamente, sentido de considerar que es un functor en la categoría de graduados $k$-álgebras.

Answer 1

Clásicamente, si $K$ es un campo, entonces $\mathbb P^n(K)$ es el conjunto de líneas de $L\subset K^{n+1}$ del espacio vectorial $K^{n+1}$.

Si $R$ es un anillo, la correcta generalización de una línea en $R^{n+1}$ es un proyectiva submódulo $L\subset R^{n+1}$ de rango uno, que también es un sumando directo : $ R^{n+1}= L\oplus E$ donde $E$ es proyectiva de la fila $n$.
Nosotros llamamos a estas submódulos complementa la línea de paquetes y $\mathbb P^n(R)$ es el conjunto de estos.

Ten en cuenta que no es automático que un proyectiva submódulo de un rango de $ R^{n+1} $ es un sumando directo, incluso si es gratuito :
por ejemplo, el submódulo $2\mathbb Z\oplus 0\subset \mathbb Z^2$ es libre de rango uno, pero no directa summandand y por tanto no es un elemento de $\mathbb P^1(\mathbb Z)$ .
Sin embargo, una libre $R$-módulo de $R(r_0,r_1,\cdots ,r_n)\subset R^{n+1}$ es un complementado línea de paquete si el $r_i$'s generar $R$ es decir $\Sigma Rr_i=R$

Porque de Grothendieck la vasta generalización mencionado por Martin también se considera la doble definición de $\mathbb P^n(R)$ como clases de equivalencia de las $R$-módulos de clasificar a una $Q$ equipada con un surjective de morfismos $R^{n+1}\to Q$.

Answer 2

Si $S$ es un esquema y $\mathcal{E}$ es un local libre de módulo en $S$, entonces el espacio proyectivo bundle $\mathbb{P}(\mathcal{E}) \to S$ representa la siguiente functor:

$\mathrm{Sch}/S \to \mathrm{Set}, (f:X \to S) \mapsto \{\text{invertible quotients of } f^* \mathcal{E}\}$

Usted puede encontrar esto en cada una introducción a la geometría algebraica, por ejemplo EGA I (1970), § 9. De hecho, esta es la definición de $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ y, a continuación, se puede demostrar con un principio general (cada Zariski gavilla, que a nivel local es representable, es representable) que este functor es representable por un esquema.

En el caso especial $\mathcal{E} = \mathcal{O}_S^{d+1}$, uno escribe $\mathbb{P}^d_S$ esto $S$-esquema y representa el functor

$\mathrm{Sch}/S \to \mathrm{Set}, (f:X \to S) \mapsto \{\text{invertible quotients of } \mathcal{O}_X^{d+1}\}.$

Por supuesto, usted puede incluso especificar a $S=\mathrm{Spec}(k)$ para algunos ring $k$ y restringir a $k$-álgebras. Pero en mi opinión es difícil de entender realmente el espacio proyectivo cuando sólo se define como un functor en $k$-álgebras. Por cierto, la primera vez que se entiende Grassmannians cuando me enteré de la general "global" de la definición en la loc. cit. - estas tabla de definiciones en la topología son sólo confuso ...