1-dim representaciones de los afín Hecke álgebra para $G = SL_2$

Question

Quiero contar el número de (isomoprhism clases) de una dimensión de las representaciones de los afín Hecke álgebra para $G = SL_2$. Lo estoy haciendo en dos maneras: (1) explícitamente mirando generadores y relaciones, y (2) mirando en la cohomology de banderas fijo por dos $q$-desplazamientos de los elementos. El problema es que por (1) el cuento de los cuatro, y por (2) cuento solo dos. No estoy del todo seguro de que donde yo estoy pasando mal.

Método 1: El afín Hecke álgebra para $SL_2$ es un álgebra $H$ que es un módulo más de $k[q, q^{-1}]$ con base $\{e^n, e^n T\}$ con multiplicativo de las relaciones $$(T + 1)(T - q) = 0$$ $$Te^{-1} - e^1 T = (1-q)e^1$$ $$e^{-1} e^1 = 1$$

A continuación, el uno-dimensional dimensional irreducibles son como sigue. Para representaciones tridimensionales, uno tiene $$T \mapsto -1$$ $$e^1 \mapsto \pm q^{-1/2}$$ y $$T \mapsto q$$ $$e^1 \mapsto \pm q^{1/2}$$ es decir, hay cuatro 1-dim representaciones.

Método 2: Debemos ser capaces de leer en el irreducibles por Kazhdan-Lusztig teoría. Es decir, para los genéricos $q$ $(g, x) \in G \times \mathcal{N}$ $g$ semisimple, de tal manera que $gxg^{-1} = qx$, el cohomology de "Springer" fibra $\mathcal{B}_{g, x}$ (es decir, fijados por tanto $g, x$) es una gran suma directa de cuyos sumandos son el producto tensor de una irreductible $H$-módulo con una representación irreducible del grupo de componentes de la doble centralizador $C(g, x)/C(g, x)^\circ$. Además, cualquier irreductible sólo puede ocurrir una vez en esta lista.

Así que, tengo para las clases conjugacy de $(g, x)$:

(1) $x = 0$, y $g$ es parametrizada por $\mathbb{A}^1 = T//W$. Al $g$ es regular semisimple, la fibra es de dos puntos, y cuando es la identidad, la fibra es $\mathbb{P}^1$. En cualquier caso, el total de cohomology es de dos dimensiones. Ahora, el centralizador al $g$ es regular, es el torus $T$, que está conectado, por lo que el $H$-representación es, en realidad, dos dimensiones (y no, digamos, la suma directa de dos representaciones tridimensionales tensored con la representación de los componentes del grupo). Al $g = 1$, entonces el centralizador es $G$, que se encuentra conectado.

(2) $x = \left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)$, y $g = \pm \left(\begin{array}{cc} \sqrt{q}&0\\0&1/\sqrt{q}\end{array}\right)$. La fibra de aquí es un punto. Así que tenemos un uno-dimensional cohomology. El centralizador es de dos puntos, por lo que no está conectado, pero torsión con una representación irreducible de $\mathbb{Z}/2$ no va a cambiar nuestra dimensión contar, en cualquier caso.

Así que aquí, sólo encontramos dos 1-dim representaciones. Dónde está la discrepancia?

Answer 1

La discrepancia viene del hecho de que hay dos diferentes afín Hecke álgebra de operadores, uno para el peso de celosía y uno para la raíz de la celosía. La raíz de celosía versión es una subalgebra de que el peso de la celosía de la versión. Concretamente, la raíz de celosía versión es la que aparece en el método 1. Puede ser comprendido como el cociente entre el grupo de álgebra de la libre grupo en dos generadores $T_0$ $T_1$ modulo de las relaciones cuadráticas $$(T_i+1)(T_i-q)=0 \ \text{for} \ i=0,1,$$ explaining the appearance of the four one-dimensional representations: each generator has two possible eigenvalues, which may be chosen independently. The weight lattice version is obtained from this by adjoining the outer automorphism interchanging the two generators. It has only two $1$-dimensional representations because $T_0$ and $T_1$ debe ahora tienen los mismos autovalores.

Geométricamente, la diferencia es que uno de estos viene de $SL_2$ y uno de $PSL_2$.

Answer 2

Creo que sé lo que está mal. Resulta que yo estaba confundido acerca de la declaración sobre el geométrica lado. En el Ginzburg/Chriss texto, el irreductible representaciones no son exactamente los Borel-Moore homología de las fibras, sino la imagen de Borel-Moore homología de algunos tubular barrio. Si uno toma un barrio de la representación en dos dimensiones referidas, debe ser el Borel-Moore homología de un punto de unión de un pequeño disco en $\mathbb{A}^1$. Sin embargo, Borel-Moore homología de abrir los discos se desvanece, por lo que la representación me dijo que era de dos dimensiones es muy unidimensional.

Tal vez de manera más convincente, uno puede referirse al documento como referencia. Uno no acaba de tomar la (co)homología de las fibras para cada órbita representante. La declaración (página 44) es realmente que el irreducibles (para un determinado personaje central) son los sumandos obtenemos mediante la aplicación de la descomposición para el mapa de $\mu$: $$\mu_* \mathbb{C}_{\tilde{\mathcal{N}}^a} = \bigoplus_{\phi} L_\phi(k) \otimes IC(k)$$

En nuestro caso, el mapa es $\mu: \mathbb{A}^1 \cup \text{pt} \rightarrow \mathbb{A}^1$. El cohomology de arriba es $\mathbb{C}^2$, y se descompone en dos representaciones tridimensionales. Así, para cada personaje central tiene dos representaciones tridimensionales como era de esperar, uno para cada una de las $C(g) = \mathbb{G}_m$ órbita en $\mathbb{A}^1$.

El siguiente fue útil para mí, sólo para verificar los cálculos si nada: https://www.math.hmc.edu/~davis/ThesisFinal.pdf También, gracias a los comentarios y respuestas, que fueron útiles e informativos, sin embargo!