Puedo reconstruir una métrica de Riemann de sus Levi-Civita de conexión? En otras palabras: Dado dos métricas de Riemann $g$ $h$ en un colector $M$ con el mismo Levi-Civita de conexión, puedo concluir que $g=h$ hasta los escalares?
Si no, ¿qué puedo decir acerca de la relación entre el$g$$h$? Cómo rígida es la de Levi-Civita-Conexión?
Esto es algo que he estado pensando recientemente, me permiten completar Mariano Suárez-Alvarez respuesta.
En primer lugar, una observación: "elegir cualquier de Riemann colector con trivial holonomy en cada punto: por ejemplo, un espacio en forma de curvatura cero": en realidad usted no tiene ninguna opción, una conexión con trivial holonomy ha fuga de curvatura, por lo que el único candidato de la métrica Euclidiana. En el lenguaje de estructuras geométricas, un plano de torsión de conexión no es equivalente a una estructura afín.
Ahora al punto. Como vamos a ver, la respuesta a tu pregunta es "genéricamente, sí". Primera nota de que, dada una conexión de $\nabla$ (a la que permanentemente asumir que $\nabla$ es de torsiones de lo contrario, no hay ninguna posibilidad de ser un Riemanniann de conexión), mediante la definición de una métrica $g$ ha Levi-Civita de conexión de $\nabla$ si y sólo si $g$ $\nabla$- paralelo: $\nabla g = 0$.
Hagamos una observación general sobre el paralelo tensor de campos con respecto a una determinada conexión. Si $F$ es un paralelo de tensor de campo, a continuación, $F$ es conservado por el transporte paralelo. En particular:
Por el contrario, dado un tensor $F_{x_0}$ en algún espacio de la tangente $T_{x_0} M$ tal que $F_{x_0}$ es invariante bajo $\operatorname{Hol}(\nabla, x_0)$, no hay una única paralela campo tensorial $F$ $M$ extender $F_{x_0}$ (obtenido por el paralelo de transporte de $F_{x_0}$).
Así que usted tiene la respuesta a su pregunta en el siguiente formulario: hay muchas métricas de Riemann tener Levi-Civita de conexión de $\nabla$, ya que hay interior de los productos de $g$ $T_{x_0} M$ preservado por $\operatorname{Hol}(\nabla, x_0)$.
Ahora usted puede desear para empujar el análisis más: ¿cómo es eso? La respuesta es proporcionada por el análisis de la acción de la restricción holonomy grupo$\operatorname{Hol}_0(\nabla, x_0)$$T_{x_0}M$. Ahora esto es solo álgebra lineal: vamos a llamar a $G = \operatorname{Hol}_0(\nabla, x_0)$$V = T_{x_0} M$. Deje $g$ $h$ ser interior dos productos en $V$ que se conservan por $G$, en otras palabras $G \subset O(g)$$G \subset O(h)$. Si $G$ actos irreducible en $V$, es decir, no hay $G$-estable subespacios $\{0\} \subsetneq W \subsetneq V$, luego un poco de ejercicio que estoy dejando, muestra que $g$ $h$ debe ser proporcional. Así, en el caso genérico de dónde $\nabla$ es irreductible, la respuesta a tu pregunta es sí: todas las métricas de Riemann con conexión a $\nabla$ debe ser igual a positivo escalares. NOTA: tenga en cuenta que puede que no haya ningún indicadores si $G$ no conserva ningún producto interior en $V$, en otras palabras $G$ debe ser conjugado a un subgrupo de $O(n)$.
En el lado opuesto del espectro, si $G$ es trivial, es decir, $\nabla$ es plana, entonces $g$ $h$ puede ser cualquier cosa, no hay restricciones. Así que si $\nabla$ es plana, hay muchas métricas de Riemann con conexión a $\nabla$, ya que hay interior de los productos en un $\dim M$-dimensional espacio vectorial, son la métrica Euclidiana en $M$.
En el "general" caso donde $\nabla$ es reducible, espero que no me equivoco (no voy a escribir los detalles que he podido encontrar) diciendo que se puede obtener a partir de la de Rham de descomposición teorema de que la situación es una mezcla de los dos anteriores "extrema" de los casos: Si $\nabla$ es reducible, localmente puede escribir $M = M_0 \times N$, de tal manera que esta es una de Riemann producto, tanto para $g$ $h$, y de tal manera que los componentes de $g$ $h$ $M_0$ son tanto Euclidiana y sus componentes en $N$ son iguales.
Si esto es correcto, creo que tu pregunta está contestada completamente.
NB: En este documento (véase también el este), Richard Atkins aborda esta cuestión. Realmente no he visto pero ya me parece que no hay mucho más que decir que lo que he escrito, no tengo idea de lo que está haciendo realmente allí.
No. Si $g$ es una métrica, $2g$ es también una métrica y ambos tienen el mismo L-C conexión.
Lo más interesante: En general, una conexión es la métrica (que es, viene de una métrica) si su holonomy en cada punto está contenido en el ortogonal subgrupo (esto se discutió en el http://mathoverflow.net/questions/54434/when-can-a-connection-induce-a-riemannian-metric-for-which-it-is-the-levi-civita), y cualquier métrica cuyo valor en cada punto es preservado por la holonomy es uno cuyo L-C de conexión es el que hemos empezado. Para obtener ejemplos, elija cualquiera de Riemann colector con trivial holonomy en cada punto: por ejemplo, un espacio en forma de curvatura cero (el plano Euclidiano plana o de un toro, por ejemplo,para mantener las cosas simples): hay muchas métricas que inducen la misma conexión (y no múltiplos de cada uno de los otros), que puede ser construido mediante la selección de cualquier producto interior en el espacio de la tangente en un punto y de transporte para el resto del colector paralelamente w.r.t la conexión de la plana métrica que hemos empezado.
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