¿Por qué decimos "radio" de la convergencia?

Question

En un sentido intuitivo, nunca he entendido por qué una potencia de la serie centrada en $c$ no puede converger para algún intervalo como $(c-3,c+2]$.

También, he tenido un par de profesores casualmente menciona que una serie converge para un disco en el plano complejo, centrado en $c$ y con el radio de convergencia como de su radio.

Se trata simplemente de una profunda resultado que no he visto todavía porque no he tomado lo suficientemente real/complejo análisis? O es que hay una razón obvia para esto.

Edit: tal vez una mejor manera de pedirle a mi pregunta: ¿por qué es que, si la serie converge al $x$ entre $c$$c+a$, entonces también converge para $x$ $c$ $c-a$

Answer 1

Si bien es cierto que en el análisis complejo, el poder de la serie converge en discos (de ahí el nombre de "radio de convergencia"), esto no es necesario para ver por qué el poder real de la serie converge en un intervalo simétrico alrededor de su centro.

Una potencia de serie con coeficientes reales centrado en el punto de $c$ puede ser escrito como $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n, $$ y se reunirán cada vez que conectamos un valor de $x$, de modo que el resultado de la serie de los números reales converge. Si $b = |x-c|$, entonces estamos realmente el examen de la convergencia de la serie de los números $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n b^n. $$ (Esta declaración es, precisamente, la prueba de razón!) Esto le convergen (decir) al $0 \leq b < R$, por lo que nos permite sustituir los valores de $x$ satisfacción $0 \leq |x-c| < R$. Por lo tanto, los valores de $x$ por lo que la serie $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$ son los que en el intervalo de $(c-R, c+ R)$. (Uno debe, por supuesto, comprobar lo que sucede cuando $x = c- R$ o $x = c+R$, como podríamos haber convergencia en uno o ambos de los extremos, pero en cualquier caso, todavía podemos obtener un intervalo simétrico acerca de $c$.)

Answer 2

El correspondiente teorema es la siguiente.

Teorema: Vamos a $\sum a_nz^n$ ser un complejo de alimentación de la serie. Supongamos que, para algunos,$w\in\mathbb C$, la serie $\sum a_nw^n$ converge. A continuación, para todos los $z\in\mathbb C$ tal que $|z|<|w|$, la serie $\sum a_nz^n$ converge absolutamente.

Prueba. Supongamos que $\sum a_nw^n$ converge. Vamos, de hecho, solo se necesita utilizar un hecho que parece ser mucho más débiles que los términos individuales $a_nw^n$ están delimitadas en el módulo. En otras palabras, existe alguna $M$ tal que $|a_nw^n|\le M$ todos los $n$.

Ahora supongamos $z\in\mathbb C$ y $|z|<|w|$. Vamos a demostrar que la serie $\mathbb a_nz^n$ converge absolutamente; es decir, que la serie $\sum |a_n||z|^n$ converge. Para mostrar esto, tenga en cuenta que: \begin{align} |a_n||z|^n&=|a_nw^n|\left(\frac{|z|}{|w|}\right)^n \\ &\le M\left(\frac{|z|}{|w|}\right)^n \end{align} Ahora acaba de utilizar el hecho de que el (geométrica) de la serie de $M\sum\left(\frac{|z|}{|w|}\right)^n$ converge (desde $|z|<|w|$). $\Box$

Puede usted ver por qué esto implica lo siguiente?

Corolario: Vamos a $\sum a_nz^n$ ser un complejo de alimentación de la serie. A continuación, cualquiera de $\sum a_nz^n$ converge en todas partes o existe alguna $R\ge 0$ (el radio de convergencia tal que $\sum a_nz^n$ converge absolutamente para $|z|<R$ y diverge para $|z|>R$. (En general, no podemos decir nada sobre el caso al $|z|=R$.)

Answer 3

En análisis complejo, el radio de convergencia es una radio real. En el análisis real sólo tenemos uno de los ejes, de modo que los radios parecen a intervalos. Dibujar esto en papel.

Answer 4

(c-3, c+ 2] tiene punto medio (c-3+ c+2)/2= c - 1/2. Puede ser escrita como ((c-1/2)-5/2, (c - 1/2)+ 5/2] así lo ha "radio" 5/2.