Hay muchas formas de resolver esos problemas-no estoy seguro de que ninguno de ellos es especialmente fácil. De una manera, ya que hemos observado que su exponente $x$ es necesariamente impar, sería encontrar integral de todos los puntos de las curvas elípticas dadas por las ecuaciones
$$
y^2 = 13^\delta u^4+12 \; \mbox{ para } \; \delta \in \{ 1, 3 \}.
$$
Uno puede hacer esto, por ejemplo, en el magma escribiendo :
IntegralQuarticPoints([13,0,0,0,12]); y IntegralQuarticPoints([13^3,0,0,0,12]);
que conducen a las dos soluciones conocidas (con $|u|=1$$|y| =5$$47$). Estas rutinas son el uso de cotas inferiores para lineal de las formas en logaritmos (elíptica, creo).
Otro enfoque (que tiene algunas similitudes) sería el uso de un argumento de Weger (a partir de su tesis, basada de nuevo en el lineal de las formas en logaritmos). Esto permitiría, por ejemplo, para abordar la cuestión más general de la ecuación
$$
13^x + 2^y 3^z = w^2.
$$
No he trabajado fuera de los detalles, pero uno debe ser capaz de demostrar que las únicas soluciones son con
$$
\begin{array}{r}
(x,y,z) = (0,0,1), (0,3,0), (0,3,1), (0,4,1), (0,5,2), (1,0,1), (1,0,5), \\
(1,2,1), (1,2,2), (1,2,3), (2,0,3), (2,6,1), (2,10,5), (3,2,1). \\
\end{array}
$$
Sin embargo, otra manera de resolver este tipo de problemas es el uso de la hipergeométrica método de Thue y Siegel. En este contexto, permite probar una desigualdad de la forma
$$
\left| y^2 - 13^x \right| > |y|^{0.4},
$$
válida para todos los enteros $y$ e impares $x$. Este enfoque también es útil para la delimitación de la número de soluciones de las ecuaciones como el bajo consideración aquí. Uno puede, por ejemplo, muestran que, dado cualquier extraño prime $p$ e integer $D$, hay en la mayoría de las $3$ enteros positivos $x$ tal que
$$
p^x+D = y^2
$$
para un entero $y$. Este es, por supuesto, no muy fuerte al$p=13$$D=12$, pero no está cerca.
