Definición de $\mathfrak{m}$-ádico de finalización.

Question

Deje $V$ ser un discreto anillo de valoración con el ideal maximal $\mathfrak{m}$ y deje $T$ ser un primer elemento de $V$. Supongamos que tenemos un subcampo $k\subseteq V$ de manera tal que la inducida por el mapa de $ k \to V/\mathfrak{m}$ es un isomorfismo. Demostrar que tenemos un isomorfismo $k[[T]] \cong \widehat{V}$ donde $\widehat{V}$ indica el $\mathfrak{m}$-ádico de la finalización de $V$.

¿Cuál es la definición de/entiende por $\mathfrak{m}$-ádico de finalización de aquí?

Answer 1

Edit: he encontrado una manera más fácil de explicarlo, así que he revisado la respuesta.

La definición de $\mathfrak{m}$-ádico de la realización es siempre finalización (es decir, secuencias convergentes, ya que este es un espacio métrico) en relación a la $\mathfrak{m}$-ádico de topología o, más simplemente, el $\mathfrak{m}$-ádico métrica en $V$. Recordemos que esta topología se define por tener $\mathfrak{m}^k, k\in\Bbb N$ ser un sistema fundamental de vecindades alrededor de $0\in V$ o, en métrica términos--por tener $d(x,y)=|x-y|_{\mathfrak{m}}$, lo que encuentre más cómodo que pensar.

De manera que un elemento de la terminación es convergente secuencia, al igual que en todos los espacios métricos, así que vamos a examinar cómo llegamos a estas secuencias convergentes en nuestro concurso.

Primero y ante todo tenga en cuenta que estamos en un topológico anillo, un lugar donde tenemos la importante operación de adición disponible para nosotros. Dado que la métrica es dada por $d(x,y)=|x-y|_\mathfrak{m}$ utiliza esta operación de adición para definir, somos capaces de reducir el estudio de secuencias convergentes para el estudio de la convergente la serie de la siguiente manera:

Deje $\{a_n\}$ ser una secuencia convergente, luego de que se pueda dar lugar por la (convergente) de la serie

$$\begin{cases} S_1=a_1 \\ S_N=a_1+\sum_{i=2}^N (a_i-a_{i-1}), N>1 \end{casos}$$

Desde nuestro campo no es de arquímedes, sabemos que una serie converge iff los términos ir a $0$ en valor absoluto. Si denotamos por a $\kappa$ el residuo de campo para $V$, sabemos que este tipo de series con términos ir a $0$ todos tienen cola que son elementos de $\kappa[[T]]$.

Ahora, desde la $k=V/\mathfrak{m}$ es sólo cosas de la forma

$$x\in V, x=a_{-N}T^{-N}+\ldots +a_{-1}T^{-1}+a_0, \quad a_i\in\kappa $$

Notemos ahora que los elementos de la $V$ están en el máximo ideal, o no lo están. Si no lo están, entonces, que son las unidades, ya que $\langle a\rangle$ es un ideal de a $V$, y todo correcto son los ideales contenidos en la (única) máximo ideal. Así que esto significa $N=0$ siempre para los elementos de $V/\mathfrak{m}$, y por lo $k=\kappa$.

Esto se deduce de la teoría estándar y definición de los residuos de campo, y la definición de $V/\mathfrak{m}$. Así tenemos que la conclusión es

$$k[\kappa[[T]]]=\kappa[\kappa[[T]]]=k[[T]]$$

como se desee.

Answer 2

$\newcommand{\a}{\mathfrak a} \newcommand{\N}{\mathbf N}$ Considere la posibilidad de un anillo arbitrario $R$ y un ideal de a $\a \unlhd R$. (Asumo $R$ a ser conmutativa, pero no creo que sea necesario, de lo contrario, usted sólo necesita ser un poco más cuidadoso acerca de qué lado se multiplican.)

Si usted sabe lo que es un límite inversa es, luego de la finalización $\hat R$ $R$ con respecto al $\a$ es el límite inversa de a $R/\a^n$ $n\in \N$ y la unión natural de los mapas.

Si no, considere el anillo de $R^\N$ de todas las secuencias de elementos de $R$, y $\bar \a :=\prod_{n\in \N} \a^n\unlhd R^\N$ ($\bar a$ es el ideal de secuencias cuyas $n$-ésimo elemento es en $\a^n$). Luego de la finalización $\hat R$ $R$ con respecto al $\a$ es el sub-anillo de $R^\N/\bar \a$, que se compone de las secuencias $(r_n+\a^n)_{n\in \N}$ tal que $\a r_n-r_{n+1}\in \a^{n+1}$.

Tenemos una natural homomorphism $R\to \hat R$ (tome $r$ a la clase de una constante de la secuencia), y siempre que $\a$ tiene la propiedad de que $\bigcap_{n\in \N} \a^n=\{0\}$ (como al $\a$ es el máximo ideal de un DVR), esto es $1-1$.

Las terminaciones son discutidos en detalle en Atiyah-Macdonald (Álgebra Conmutativa), por lo que usted puede ser que desee comprobar hacia fuera.