Dejemos que $f(x)=x^d$ $(d\in(-1,0))$ . Sabemos que $$\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\left(\frac{i}{n}\right)^d\xrightarrow{n\rightarrow\infty}\int_0^1x^d dx=\frac{1}{d+1}.$$ Mi pregunta es la siguiente: ¿Podemos decir algo sobre la velocidad de convergencia? Algo así como $$\left|\int_0^1x^d dx-\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\left(\frac{i}{n}\right)^d\right|\in O(n^d)?$$ Sé que la última expresión puede ser errónea. Sólo quería dar una idea de lo que estoy buscando. Gracias.
Respuesta
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Escribamos $t_i = \frac{i}{n}$ . Entonces, como $d < 0$ tenemos
$$\left\lvert\int_0^1 x^d\,dx - \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}t_i^d \right\rvert = \sum_{i=1}^n \int_{t_{i-1}}^{t_i} x^d - t_i^d\,dx.\tag{1}$$
Escribir
$$x^d - t_i^d = -d\int_x^{t_i}\xi^{d-1}\,d\xi$$
e intercambiando el orden de integración, obtenemos
$$\int_{t_{i-1}}^{t_i} x^d - t_i^d\,dx = \lvert d\rvert \int_{t_{i-1}}^{t_i} (\xi - t_{i-1})\xi^{d-1}\,d\xi. \tag{2}$$
Para $i = 1$ la integral se calcula fácilmente como
$$\int_0^{1/n} x^d - \frac{1}{n^d}\,dx = \frac{1}{1+d}\left(\frac{1}{n^{d+1}} - 0\right) - \frac1n\cdot \frac1{n^d} = \frac{\lvert d\rvert}{(1+d)n^{d+1}},$$
por lo que tenemos un límite inferior de $\Omega(n^{-(1+d)})$ para la convergencia.
Para $i \geqslant 2$ podemos acotar el lado derecho de $2$ anterior sustituyendo $\xi^{d-1}$ con $t_{i-1}^{d-1}$ y obtener un límite superior de
$$\frac{\lvert d\rvert}{(1+d)n^{d+1}} + \sum_{i=2}^n \lvert d\rvert t_{i-1}^{d-1}\int_{t_{i-1}}^{t_i} (\xi - t_{i-1})\,d\xi = \frac{\lvert d\rvert}{(1+d)n^{d+1}} + \frac{\lvert d\rvert}{2n^{d+1}}\sum_{j=1}^{n-1} j^{d-1}.$$
La última suma converge (a $\zeta(1-d)$ ), por lo que en general tenemos
$$\left\lvert\int_0^1 x^d\,dx - \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}t_i^d \right\rvert \in \Theta(n^{-(1+d)}).$$
Así que para $d > -\frac12$ la convergencia es aún más rápida que $O(n^d)$ pero para $d < -\frac12$ es más lento.
