$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ tiene un único subgrupo de orden $n$ para cualquier entero positivo $n$?

Question

Visualización de $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$ como aditivo grupos, tengo una idea para demostrar que $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ tiene un único subgrupo de orden $n$ para cualquier entero positivo $n$. Usted puede tomar $a/n+\mathbb{Z}$ donde $(a,n)=1$, y este elemento tiene orden de $n$.

¿Por qué ese elemento existe en ninguno de los subgrupos $H$ orden $n$? Si no, usted podría reducir cada representante, y, a continuación, cada elemento tiene orden de menos de $n$, pero ¿dónde está la contradicción?

Answer 1

Encontrar todos los elementos de orden de un divisor de a $n$ $\mathbb Q/\mathbb Z$ (es decir, todos los elementos $g$ tal que $ng=0$). Hay exactamente $n$ de ellos, y de hecho hay al menos uno de ellos, cuyo fin es exactamente $n$.

Mostrar que esos elementos son, de hecho, los elementos de un subgrupo.

Answer 2

Podemos abordar el problema utilizando elementales de la teoría de números. Mira primero en el subgrupo de $K$ $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ generado por (la clase de equivalencia) $q/r$ donde $q$ $r$ son relativamente primos.

Desde $q$ $r$ son relativamente primos, existen enteros $x$ $y$ tal que $qx+ry=1$. Dividir ambos lados por $r$. Nos encontramos con que $$x\frac{q}{r}+y=\frac{1}{r}.$$ Desde $y$ es un número entero, se deduce que el $\frac{1}{r}$ es congruente, modulo $1$,$x\frac{q}{r}$. De ello se sigue que (la clase de equivalencia) $1/r$$K$, y por lo tanto genera $K$.

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Ahora vamos a $H$ ser un subgrupo de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ orden $n$. Deje $h$ ser un elemento de $H$. Si $h$ genera $H$, estamos acabados. De lo contrario, $h$ genera una adecuada subgrupo de $H$. Por el resultado anterior, podemos suponer que las $h$ es (la clase de equivalencia)$1/r_1$, y que existe un cierto $1/b$ $H$ tal que $b$ no divide $r_1$. Deje $d=\gcd(r_1,b)$.

Existen enteros $x$ $y$ tal que $r_1x+by=d$. Dividir a través de por $r_1b$. Nos encontramos con que $$x\frac{1}{b}+y\frac{1}{r_1}=\frac{d}{r_1b}.$$ De ello se sigue que (la clase de equivalencia) $d/(r_1b)$$H$. Pero $r_1b/d$ es el mínimo común múltiplo de a$r_1$$b$. Llamar a este mínimo común múltiplo $r_2$. Entonces a partir de la $r_1$ $b$ brecha $r_2$, en el subgrupo de $H$ generado por (la clase de equivalencia) $1/r_2$ contiene $1/r_1$$1/b$.

Si $1/r_2$ genera todos los de $H$, estamos acabados. De lo contrario, no es un $1/b$ $H$ tal que $b$ no divide $r_2$. De continuar.

Answer 3

Deje $x$ ser un número real en el intervalo abierto $(0,1)$. Si $nx$ es un número entero $k$ para algún entero positivo $n$,$x = k/n$. Usted ver que $k=1,\ldots,n-1$. Voy a dejar el resto para usted.

Answer 4

Primera $\mathbb{Q}\cong\bigoplus_{p\in\Pi}\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ donde $\Pi$ es el conjunto de todos los números primos. A continuación, para cada una de las $p$ primer $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ tiene un único subgrupo de orden $p^n$ por cada $n\in\mathbb{N}$. Por último aplicar el Teorema Fundamental de la Aritmética.