Solucionar $x^{y^2}=y^x$$x,y\in\mathbb{N}$.

Question

Solucionar $x^{y^2}=y^x$$x,y\in\mathbb{N}$.

Puedo observar que $(x,y)$$(1,1)$, entonces no sé cómo continuar. Por favor, ayudar. Gracias.

p.s. Me pregunto si hay solución sin usar mod.

Answer 1

El argumento de que he añadido a continuación, establecemos $x = my^2$ si $x > y$$m \in \Bbb N$.

Conectar en da: $(my^2)^{y^2} = y^{my^2} \iff my^2 = y^m \iff m = y^{m-2}$. Exigiendo que $y\ge 2$ implica que el $m \le 4$.

De forma exhaustiva:

• $m=1,2$: Imposible, ya que $y \in \Bbb N$, $y^0 = 1$.
• $m=3$: Al conectar los da $3 = y$, dando lugar a la segunda solución, por @Spenser.
• $m=4$: Al conectar los da $4 = y^2$, lo que da la primera solución por @Spenser.

EDIT: El argumento de que $x = my^2$ si $x > y$:

Supongamos que $x > y$. Tenemos

$$x = \log_y y^x = \log_y x^{y^2} = y^2 \log_y x \implies \frac x{y^2} > 0$$

de modo que $x > y^2$. Ahora para cualquier prime $p$, tenemos:

$$x \operatorname{ord}_p y = y^2 \operatorname{ord}_p x$$

Por lo tanto, si $\operatorname{ord}_p y > 0$, $\operatorname{ord}_p x > \operatorname{ord}_p y$ a ser capaz de tener la igualdad. Es decir, $y \mid x$.

Así que pon $x = ny$$n \in \Bbb N$. A continuación, $n > y$ desde $x > y^2$, y:

$$(ny)^{y^2}=y^{ny} \iff n^y = y^{n-2}$$

Recurriendo de nuevo a la $\operatorname{ord}_p$ truco, nos encontramos de igual forma que $\operatorname{ord}_p n > \operatorname{ord}_p y$, es decir,$y \mid n$. Por lo tanto, $x = my^2$ algunos $m \in \Bbb N, m \ge 2$.

EDIT 2: El argumento de que $x \ge y$ para cualquier solución, completando así la prueba de que todas las soluciones se han encontrado (desde $x = y$ da $(1,1)$ solución):

Supongamos que $x < y$. Entonces a partir de la $x < y^2$, empleando

$$x \operatorname{ord}_p y = y^2 \operatorname{ord}_p x$$

de nuevo los rendimientos $x \mid y$, decir $y = nx$. Entonces obtendremos, conectando en la ecuación:

$$x^{(nx)^2} = (nx)^x \iff x^{n^2x} = nx \iff n = x^{n^2x-1}$$

Debido a $x \ge 2$, esto no tiene soluciones para $n \in \Bbb N$.

Se sigue, por tanto, que el espacio de la solución está dada por:

$$\left\{(x,y) \in \Bbb N^2: x^{y^2}=y^x \right\} = \{(1,1), (16,2), (27,3)\}$$

Answer 2

Usted puede escribir la ecuación como $x = y^{xy^{-2}}$, conectando en sí mismo da $x = y^{y^{xy^{-2}-2}}$, y mediante la toma de registros (y suponiendo $y > 1$)$y^{xy^{-2}-2} = xy^{-2}$. Por último, elevar a la $y^2$th poder, obtenemos la igualdad $y^{x-2y^2} = (xy^{-2})^{y^2}$

Si $x > 2y^2$, el lado izquierdo es un número entero, el lado derecho es racional para un exponente del número entero. Esto obliga a que el racional sobre el derecho a ser un número entero, y por lo $x$ tiene que ser un múltiplo de $y^2$. Por lo $x = my^2$ algunos $m > 2$. Entonces la ecuación se simplifica a $y = m^{1/(m-2)}$ a que las dos soluciones para $m=3$ $m=4$

Si $x \le 2y^2$ podemos tomar los inversos y ahora es $y^2$ que tiene que ser un múltiplo de $x$. Si $y^2 = mx$, obtenemos $(x^{2m})^x = (mx)^x$$x = m^{1/(2m-1)} < 2$, y esto sólo es posible para $x=y=m=1$.