Alguien sabe una prueba de $\prod_{n=1}^\infty\cos(x/2^n)=\sin x/x$.

Question

Esto es en realidad un ejercicio de Apostol del Análisis Matemático. Ch. 8 Ex 42. que pide hallar todos los valores reales $x$ que $\prod_{n=1}^\infty \cos(x/2^n)$ converge. He demostrado que el producto converge para todos los $x$. El problema, a continuación, pide a encontrar lo que valora el producto converge. Por jugar con Wolfram Alpha, me encontré con que $$\prod_{n=1}^\infty\cos(x/2^n)=\sin x/x.$$

No puedo entender cómo probar esto.

Answer 1

Usando la identidad trigonométrica

$$\sin (2t) = 2\sin (t) \cos (t),$$

tenemos

$$\prod_{n = 1}^N \cos(x/2^n) = \prod_{n = 1}^N \frac{\sin(x/2^{n-1})}{2\sin(x/2^n)} = \frac{\sin(x)}{2^N\sin(x/2^N)} = \frac{\sin x}{x}\cdot \frac{x/2^N}{\sin(x/2^N)}$$

Tomar el límite de $N \to \infty$ y utilice el hecho de $\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ para obtener el resultado.